Un problema de residuos difícil Teorema

Question

Pensé que era bastante versado con usando el teorema del residuo para evaluar integrales incorrectos, pero uno de los problemas ha sido darme pena.

Cómo uno calcular la integral $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{\alpha+ix}}{(\alpha+ix)^\beta} dx

¿números reales $\alpha>1$, $\beta>0$?

Tenga en cuenta que $\beta$ no es necesariamente un número entero, que limita los contornos que pueden utilizarse (es decir. uno necesita utilizar contornos en los que se puede definir una rama del logaritmo).

Answer 1

Esta solución no implica el teorema de los residuos, sólo teorema de Cauchy (a manipular la integración de contorno).

Deje $t=\alpha+ix$, por lo que su integral es $$I(\beta)=-i\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty}t^{-\beta}e^tdt$$ (integración a través de una línea vertical - espero que la notación es claro). Por el teorema de Cauchy de la integral es igual a $$-i\int_Ct^{-\beta}e^tdt$$ donde $C$ proviene de $-\infty$ por debajo del eje real, hace un pequeño círculo alrededor de $0$, y vuelve a $-\infty$ sobre el eje real.

Supongamos que $\beta<1$; la integral sobre el círculo de la parte de $C$ $0$ como el radio del círculo se va a cero. Se puede pasar al límite y olvidarse de el círculo. La integral se convierte entonces en ($r=-t$) $$-i(e^{\pi i\beta}-e^{-\pi i\beta})\int_0^\infty r^{-\beta}e^{-r}dr=2\sin(\pi\beta)\Gamma(1-\beta)$$ (el uso de $t^\beta=e^{\pm\pi i\beta}r^\beta$, la señal dada por si nos pasa por encima o por debajo del eje real). Puede utilizar la ecuación funcional $$\Gamma(1-\beta)\Gamma(\beta)\sin(\pi\beta)=\pi$$ para simplificar el resultado a $$I(\beta)=2\pi/\Gamma(\beta).$$

Pensábamos que los $\beta<1$. Observe sin embargo que $I(\beta)$ es una analítica de la función de $\beta$ $\Re\beta>0$ (converge uniformemente), por lo que el resultado es cierto para todos los $\beta$$\Re\beta>0$. Puedes probar a utilizar el teorema de los residuos para comprobar este resultado para $\beta\in\mathbb{N}$ (espero no hacer demasiados errores, así que tal vez usted obtendrá :)