Deje K el número de campo generadas por α. Considere la posibilidad de la factorización en primos de la fracción ideal (α). Si esta factorización prima contiene un alojamiento ideal P a un exponente positivo, a continuación, α se encuentra en la localización de la S−1OK lejos de todo el primer ideales en la factorización prima que se producen con exponentes negativos. P es un alojamiento ideal en esta localización, por lo que podemos tomar el cociente por P, lo que da lugar a un mapa
SL2(S−1OK)→SL2(S−1OK/P).
G está contenida en el dominio de este mapa, ya que es SL2(Z), pero la imagen de T bajo este mapa es la identidad, ya que α≡0mod, por lo que la imagen de G es generado por S y, en particular, no contiene la imagen de \text{SL}_2(\mathbb{Z}).
Por lo tanto una condición necesaria para la propiedad deseada es que la factorización prima de (\alpha) contiene sólo los exponentes negativos. Esto es equivalente a \frac{1}{\alpha} ser un entero algebraico. Sin embargo, no sé cómo probar que la propiedad tiene menos \frac{1}{\alpha} es de hecho un número entero (en cuyo caso es sencillo).
Edit: creo que su conjetura es falsa. Si \text{SL}_2(\mathbb{Z}) \subset G \alpha es real, entonces se sigue que una fundamental dominio de \text{SL}_2(\mathbb{Z}) actuando en la mitad superior del plano de \mathbb{H} es la unión de los dominios fundamentales de G actuando en \mathbb{H}; en particular, los últimos tienen menor hiperbólico área que la anterior. Pero si \alpha es una expresión algebraica número real con un conjugado de valor absoluto mayor que 1, entonces el WLOG \alpha es esto conjugado (la propiedad de contener \text{SL}_2(\mathbb{Z}) es invariante bajo Galois de acción), y es muy sencillo de escribir fundamental de dominio que tiene mayor hiperbólico área de fundamental dominio de \text{SL}_2(\mathbb{Z}), lo cual es una contradicción.
Como un ejemplo claro donde \frac{1}{\alpha} es un entero algebraico, tome \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.