He encontrado este hermoso continuó fracción de expansión de $\tan(nx)$, $n$ ser un entero positivo, en línea, pero no recuerdo la fuente ahora:
$\displaystyle \tan(nx) = \cfrac{n\tan x}{1 -\cfrac{(n^{2} - 1^{2})\tan^{2}x}{3 -\cfrac{(n^{2} - 2^{2})\tan^{2}x}{5 -\cfrac{(n^{2} - 3^{2})\tan^{2}x}{7 -\cdots}}}}$
el último término en la continuidad de la fracción ser $\dfrac{(n^{2} - (n - 1)^{2})\tan^{2}x}{(2n - 1)} = \tan^{2}x$. Por ejemplo, para $n = 3$ hemos
$\displaystyle \tan 3x = \cfrac{3\tan x}{1 -\cfrac{8\tan^{2}x}{3-\cfrac{5\tan^{2}x}{5}}}$
lo cual es correcto y se puede comprobar fácilmente. Me gustaría saber una simple prueba de primaria a través de la trigonometría y álgebra.
Me había hecho esta pregunta durante mucho tiempo atrás en NRICH(https://nrich.maths.org/discus/messages/153904/145455.html) pero no recibí ninguna respuesta útil. La razón me gustaría saber la prueba es que me va a llevar a una escuela primaria de la prueba de la continuación de la fracción de expansión de $\tan z$. Poner a $nx = z$ donde $z$ se mantiene constante y $n$ a tienden a $\infty$ (de modo que $x \to 0$), llegamos a la
$\displaystyle \tan z = \cfrac{z}{1-\cfrac{z^{2}}{3 -\cfrac{z^{2}}{5-\cfrac{z^{2}}{7-\cdots}}}}$
en lugar de la complicada prueba por Lambert dado en mi blog http://paramanands.blogspot.com/2011/04/continued-fraction-expansion-of-tanx.html
Tengo otra fórmula de un ejercicio de "Un Curso de Matemáticas Puras" de G. H. Hardy: $$\cos nx = 1 - \frac{n^{2}}{2!}\sin^{2}x - \frac{n^{2}(2^{2} - n^{2})}{4!}\sin^{4}x - \frac{n^{2}(2^{2} - n^{2})(4^{2} - n^{2})}{6!}\sin^{6}x - \cdots$$
Voy a tratar de averiguar si esta fórmula puede ser usada para probar la continuación de la fracción de expansión de $\tan(nx)$.
Actualización: Esta pregunta fue originalmente planteada por Euler en 1813. Ver Chrystal del Álgebra Vol 2 (página 526, problema 31).
