Funciones definidas por integrales (problema 10.23 del Apostol ' s análisis matemático)

Question

Hay un problema (#10.23) de análisis matemático de Apostol que estoy teniendo un momento difícil para resolver: que $F(y)= \int_{0}^{\infty}\frac{\sin xy}{x(x^{2}+1)}dx$ si $y > 0$. Mostrar que $F$ satisface la ecuación diferencial $F''(y)-F(y)+\frac{\pi }{2} = 0$ y deducir que $F(y)= \frac{1}{2}\pi(1-e^{-y})$. Utilizar este resultado para deducir las ecuaciones siguientes, válidas para $y > 0$ y $a > 0$: utilizarlo para deducir que para $y>0$ y $a>0$\begin{align} \int\nolimits_{0}^{\infty}\frac{\sin xy}{x(x^{2}+a^{2})}dx = \frac{\pi}{2a^{2}}(1-e^{-ay}), \newline \int_{0}^{\infty}\frac{\cos xy}{x^{2}+a^{2}}dx = \frac{\pi e^{-ay}}{2a}, \newline \int_{0}^{\infty}\frac{x\sin xy}{x^{2}+a^{2}}dx = \frac{\pi}{2}e^{-ay} \end {alinee el} podemos utilizar $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx = \frac{\pi}{2}$

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Que $f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x(x^2+1)}$. Entonces $$f_{yy}(x,y)-f(x,y)=-\frac{x\sin(xy)}{x^2+1}-\frac{\sin(xy)}{x(x^2+1)}=-\frac{\sin(xy)}{x}$$ It follows that $% $ $F''(y)-F(y)=\int_0^\infty -\frac{\sin(xy)}{y} dx=-\int_0^\infty \frac{\sin(xy)}{xy} \,d(xy)=-\pi/2$$F(y)$es una solución a la ecuación diferencial $z''-z+\frac{pi}{2}=0$. Lo historicista que $F(y)=ae^y+be^{-y}+\frac{\pi}{2}$. De la definición de $F(y)$ uno puede comprobar que $\lim_{y\to 0} F(y)=0$ y $\lim_{y\to 0} F'(y)=\pi/2$. $a+b+\pi/2=0$ Y $a-b=\pi/2$. Resolución de $a$ y $b$ tenemos $a=0$ y $b=-\pi/2$. Por lo tanto $$F(y)=\frac{\pi}{2}(1-e^{-y})$$. Let $$G(y):=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin xy}{x(x^{2}+a^{2})}dx.$$By substitution $ t=x/a$ one can show that $G(y)=\frac{F(ay)}{a^2}=\frac{\pi}{2a^2}(1-e^{-ay}) $ and then $% $ $\begin{align*}G'(y)&=\frac{F'(ay)}{a}=\frac{\pi e^{-ay}}{2a}\\G''(y)&=F''(ay)=-\frac{\pi}{2}e^{-ay}\end{align*}$