¿Cómo descomponer desplazados función de Hermite-Gauss en una orden más alta HGs?

Question

El Hermite-Gauss funciones aparecen comúnmente en la física. Estas funciones están formadas por el producto de un polinomio de Hermite y una Gaussiana:

$$ u_n(x) = \left(\frac{2}{\pi w_0^2}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{n! 2^n}} H_n\left(\frac{\sqrt{2}x}{w_0}\right)\exp\left\{-\left(\frac{x}{w_0}\right)^2\right\}$$

y son ortonormales:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} u_n(x) u_m(x) dx = \delta_{n,m}$$

En un documento (2004 J. Opt. B 6 495) he encontrado la siguiente identidad, que da la descomposición de un desplazadas modo de $u_0(x-a)$ en términos de una serie de más alto orden de Hermite-Gauss funciones de $u_n(x)$:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} u_0(x - a) u_n(x) dx = \frac{a^n}{w_0^n \sqrt{n!}} \exp\left\{ -\frac{a^2}{2 w_0^2}\right\} $$

Cómo es esta deriva?

(Además de la que se deriva por la mano, me gustaría saber cómo coaxial Mathematica en dar.)

EDIT: esta es una animación que muestra la descomposición de un desplazadas de Gauss en el orden superior de Hermite-Gauss funciones (modos):

Answer 1

Por ejemplo a través de la función generadora para $u_n$' dejó de s: tenemos % $ $$\exp(-(x-t)^2)=\sum_n H_n(x)\exp(-x^2) t^n/n!$$U_n(x)=H_n(x)\exp(-x^2)$(es decir $u_n$ $x$ de reescalado y sin normalización). Así tenemos %#% $ #%

Entonces tenemos %#% $ $$\exp(-(x-t)^2+x^2/2)=\sum_n U_n(x) t^n/n!$ $ de #% tomando el coeficiente de $$\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-(x-a)^2/2)\exp(-(x-t)^2+x^2/2)dx=\int\exp(-(x-a/2-t)^2+at-a^2/4)dx=$ obtenemos $$=\exp(-a^2/4)\exp(at)\int\exp(-x^2)dx=\sqrt{2\pi}\exp(-a^2/4)\exp(at).$ $, que es su fórmula (salvo error de posible integración que acaban de producir :)