Traducción al inglés. Usted puede ver el original - en desuso - en portugués aquí
Hola, me llegó en una generalización para el Palo de Hockey de los Patrones, de nuestra amada Triángulo de Pascal. Esta generalización conlleva el producto de pares de binomio números, y por lo tanto vuelve a montar la Identidad de Vandermonde $$\sum \limits_{j=0}^{r}{m\choose j}{q-m\choose r-j}={q\choose r}\tag a$$
De acuerdo a la identidad $(8)$ en la página de la wikipedia Coeficiente Binomial tenemos las siguientes mirando fórmula similar $$\sum \limits_{m=0}^{q}{m\choose j}{q-m\choose r-j}={q+1\choose r+1}\tag b$$
Vamos a llegar al punto!
Como sabemos, la RHS Patrón (a la Derecha del Palo de Hockey) está relacionada con columnas y nos dice que
$${n+1\choose p+1}=\sum \limits_{k=0}^{n-p}{n-k\choose p}\tag 1$$
Dejando $d$ ser el desplazamiento, en referencia a las columnas - entre el $\displaystyle {n+1\choose p+1}$ y el palo/columna de sí mismo - lo que hoy tenemos es un caso particular cuando a $d=0$ - vamos a tener para las $0 \le d \le p-1$:
$${n+1\choose p+1}=\sum \limits_{k=0}^{n-p}{d+k\choose d}{n-d-k\choose p-d}\tag 2$$
En este caso, vemos una generalización es posible por introducting otra columna, la columna de $d$. Y ambas columnas están alineados unos con otros.
Prueba
De $(2)$ hemos
$k\gt n-p$ $\longrightarrow$ $n-d-k\lt p-d$
$$ \longrightarrow \sum \limits_{k=0}^{n-p}{d+k\choose d}{n-d-k\choose p-d}=\sum \limits_{k=0}^{n}{d+k\choose d}{n-d-k\choose p-d}$$
Dejar
$m = d + k; j = d; q = n; r = p$;
Y
$0\leq k\leq n$ $\longrightarrow$ $d\leq d+k\leq n+d$ $\longrightarrow$ $j\leq m\leq q+j$
Por lo tanto, tenemos
$$\sum \limits_{k=0}^{n}{d+k\choose d}{n-d-k\choose p-d}=\sum \limits_{m=j}^{q+j}{m\choose j}{q-m\choose r-j}$$
$m<j$ $\longrightarrow$ $\displaystyle{m\choose j}=0$
$m>q$ $\longrightarrow$ $\displaystyle{q-m\choose r-j}=0$
$$ \longrightarrow \sum \limits_{m=j}^{q+j}{m\choose j}{q-m\choose r-j}=\sum \limits_{m=0}^{q}{m\choose j}{q-m\choose r-j}$$
De acuerdo a $(b)$,
$$\sum \limits_{m=0}^{q}{m\choose j}{q-m\choose r-j}={q+1\choose r+1}={n+1\choose p+1}$$
Como era de esperar.
Ahora vamos a llegar a la LHS patrón (a la Izquierda de Palo de Hockey) - que está relacionado con las diagonales que dice
$${n+1\choose p}=\sum \limits_{k=0}^p{n-k\choose p-k}\tag 3$$
Llamar a $d$ el desplazamiento, refiriéndose a las diagonales - entre el $\displaystyle {n+1\choose p}$ y el palo/diagonal - lo que hoy tenemos es un caso particular cuando a $d=0$. Para $0 \le d \le n-p-1$, tenemos
$${n+1\choose p}=\sum \limits_{k=0}^p {d+k\choose k}{n-d-k\choose p-k}\tag 4$$
Ahora, vemos una generalización es posible por introducting otra diagonal, diagonal $d$. Y ambas diagonales están alineados unos con otros.
Prueba
De $(4)$ hemos $$\sum \limits_{k=0}^p {d+k\choose k}{n-d-k\choose p-k}=\sum \limits_{k=0}^p {d+k\choose d}{n-d-k\choose n-p-d}$$
$k\gt p$ $\longrightarrow$ $n-d-k\lt n-p-d$
$$ \longrightarrow \sum \limits_{k=0}^{p}{d+k\choose d}{n-d-k\choose n-p-d}=\sum \limits_{k=0}^{n}{d+k\choose d}{n-d-k\choose n-p-d}$$
Dejar
$m = d + k; j = d; q = n; r = n-p$;
Y
$0\leq k\leq n$ $\longrightarrow$ $d\leq d+k\leq n+d$ $\longrightarrow$ $j\leq m\leq q+j$
Por lo tanto, tenemos
$$\sum \limits_{k=0}^{n}{d+k\choose d}{n-d-k\choose n-p-d}=\sum \limits_{m=j}^{q+j}{m\choose j}{q-m\choose r-j}$$
$m<j$ $\longrightarrow$ $\displaystyle{m\choose j}=0$
$m>q$ $\longrightarrow$ $\displaystyle{q-m\choose r-j}=0$
$$ \longrightarrow \sum \limits_{m=j}^{q+j}{m\choose j}{q-m\choose r-j}=\sum \limits_{m=0}^{q}{m\choose j}{q-m\choose r-j}$$
De acuerdo a $(b)$,
$$\sum \limits_{m=0}^{q}{m\choose j}{q-m\choose r-j}={q+1\choose r+1}={n+1\choose n-p+1}={n+1\choose p}$$
Como era de esperar.
Pregunta. Se $(2)$ e $(4)$ ya conocido?
