Estoy tratando de mostrar,
\begin{align} I = \int_{-1}^1 x^nP_n(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2^{n+1}n!n!}{(2n+1)!} \end {Alinee el}
Hasta ahora he hecho lo siguiente. Fórmula de Rodrigues es la siguiente:
\begin{align*} P_n(x) = \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k} \end{align*}
donde,
\begin{align*} \begin{aligned} N&=n/2, && \text{if} \quad n=\text{even} \\ N&=(n-1)/2, && \text{if} \quad n=\text{odd} \end{alineado} \end{align*}
Sustituir la fórmula de Rodrigues,
\begin{align*} I &= \int_{-1}^1 x^n \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k} \,\mathrm{d}x \\ &= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} \int_{-1}^1 x^{2n-2k} \,\mathrm{d}x \\ &= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} \left. \frac{x^{2n-2k+1}}{2n-2k+1}\right\rvert_{-1}^1 \\ &= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} \frac{1 - (-1)^{2n-2k+1}}{2n-2k+1} \\ &= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} \frac{1 + (-1)^{2n-2k}}{2n-2k+1} \end{align*}
Ya que $2n-2k$ es
\begin{align*} I &= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} \frac{2}{2n-2k+1} \\ &= \sum_{k=0}^N \frac{2^{1-n}(-1)^k (2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!(2n-2k+1)} \end{align*}
¿Alguien me puede dar una pista acerca de cómo proceder o necesito para probar con otra forma?