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Integral con polinomio de Legendre y $x^n$

Estoy tratando de mostrar,

\begin{align} I = \int_{-1}^1 x^nP_n(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2^{n+1}n!n!}{(2n+1)!} \end {Alinee el}

Hasta ahora he hecho lo siguiente. Fórmula de Rodrigues es la siguiente:

\begin{align*} P_n(x) = \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k} \end{align*}

donde,

\begin{align*} \begin{aligned} N&=n/2, && \text{if} \quad n=\text{even} \\ N&=(n-1)/2, && \text{if} \quad n=\text{odd} \end{alineado} \end{align*}

Sustituir la fórmula de Rodrigues,

\begin{align*} I &= \int_{-1}^1 x^n \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k} \,\mathrm{d}x \\ &= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} \int_{-1}^1 x^{2n-2k} \,\mathrm{d}x \\ &= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} \left. \frac{x^{2n-2k+1}}{2n-2k+1}\right\rvert_{-1}^1 \\ &= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} \frac{1 - (-1)^{2n-2k+1}}{2n-2k+1} \\ &= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} \frac{1 + (-1)^{2n-2k}}{2n-2k+1} \end{align*}

Ya que $2n-2k$ es

\begin{align*} I &= \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{2^nk!(n-k)!(n-2k)!} \frac{2}{2n-2k+1} \\ &= \sum_{k=0}^N \frac{2^{1-n}(-1)^k (2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!(2n-2k+1)} \end{align*}

¿Alguien me puede dar una pista acerca de cómo proceder o necesito para probar con otra forma?

8voto

Roger Hoover Puntos 56

Es más rápido para aprovechar la generación de la función que viene de Rodrigues' la fórmula o el Capó de la recursividad de la fórmula: $$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n\tag{1} $$ Mediante la sustitución de $t$ $xt$ tenemos: $$ \int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-2x^2 t+x^2 t^2}}=\sum_{n\geq 0}\left(\int_{-1}^{-1}x^n P_n(x)\,dx\right)t^n\tag{2} $$ así que nuestro integrales puede ser calculada a través de la serie de Taylor de la LHS, considerada como una función de la $t$.
El lado izquierdo de $(2)$ es: $$ \frac{2\arcsin\!\sqrt{t(2-t)}}{\sqrt{t(2-t)}}=\frac{4\arcsin\sqrt{\frac{t}{2}}}{\sqrt{t(2-t)}} \tag{3} $$ y su demanda inicial resulta ser equivalente a un conocido de la identidad.

La verdad sea dicho, es también muy interesante de lado: algunas series relacionadas con el $\Gamma^2$ función puede ser fácilmente calculada mediante la explotación de la mencionada propiedad de los polinomios de Legendre.


El uso de Rodrigues de la fórmula tenemos: $$\int_{-1}^{1}x^n P_n(x)\,dx = \frac{1}{2^n n!}\int_{-1}^{1}x^n\cdot\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\,dx \stackrel{RIBP}{=}\frac{1}{2^n}\int_{-1}^{1}(1-x^2)^n\,dx\tag{4}$$ donde $\text{RIBP}$ representa repetido integración por partes.
Pero la RHS de $(4)$ es un valor de la función beta de Euler: $$\frac{1}{2^n}\int_{-1}^{1}(1-x^2)^n\,dx=\frac{1}{2^n}\int_{0}^{1}z^{-1/2}(1-z)^n\,dz = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma(n+1)}{2^n\,\Gamma\left(n+\frac{3}{2}\right)}\tag{5}$$ y estamos igual de hecho, debido a que: $$\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma(n+1)}{2^n\,\Gamma\left(n+\frac{3}{2}\right)} = \frac{2\cdot n!}{(2n+1)!!} = \frac{2^{n+1} n!^2}{(2n+1)!}.\tag{6}$$

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