Si es diferenciable en $f$ $x = x_0$ $f$ es continua en $x = x_0$.

Question

Reclamo: si $f$ es diferenciable en a $x = x_0$ $f$ es continua en a $x = x_0$.

Por favor, a ver si cometí algún error en la prueba a continuación. Menciono algunos teoremas en la prueba:

La condición de a $f(x)$ ser continua en$x=x_0$$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$.

(1) Si $f(x)$ es diferenciable en a$x-x_0$, $f'(x)=\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe y se define la función en $x=x_0$.

(2) por lo Tanto, el Límite de Linealidad Teorema, $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ existe y vamos a demostrar que es igual a $f(x_0)$.

(3) vamos a hacer esto por el Preciso Límite Definion: dado $ \epsilon>0, \exists\delta|0<|x-x_0|<\delta$,$0<|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$. Como este límite existe por (2), podemos hacer $f(x)$ cerca de $f(x_0)$ como uno desea, por lo tanto,$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$, lo que satisface la condición para $f(x)$ ser diferenciable en a $x=x_0$. El final.

Answer 1

$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\left(f(x_0)+(x-x_0)\cdot\dfrac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)=$$ $$\lim\limits_{x\to x_0}f(x_0)+\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)\cdot\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=$$ $$f(x_0)+0\cdot f'(x_0)=f(x_0)$$

Answer 2

Seguramente usted meterse cosas en la prueba. Que dices que podemos hacer $f(x)$ $f(x_0)$ como un deseos. Pero esto es exactamente lo que está tratando de probar.

La definición más útil de differentiability es, que una función es diferenciable si $f(x)=f(x_0) + a \cdot (x-x_0) + r(x)$ $$\lim_{x\to x_0} \frac{r(x)}{x-x_0} = 0 $ $ por lo que seguramente será $\lim_{x\to x_0} r(x)$ $0$. Por lo tanto\begin{align*} |f(x)-f(x_0)|&= | f(x_0) + a \cdot (x-x_0) + r(x) -f(x_0)|\\ &\leq |a| \cdot |x-x_0|+ |r(x)| \end{align*} ahora tienes una suma de 2 términos que vaya a cero como $x$ $x_0$.

Answer 3

Aquí, una solución que he encontrado en "Introducción al análisis" byt Arthur Mattuck:

$$ \lim_{x\to x_0} (f(x)-f(x_0)) = x_0 \lim_{x\to} (\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})(x-x_0) \\ = x_0 \lim_{x\to} (\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}) \cdot \lim_{x\to x_0} (x-x_0) \\ = f'(x) \cdot 0 \\ = 0$ $