¿Qué es un tensor? se ha pedido antes, con la respuesta más votado hasta definir un tensor de rango $k$ como un vector de un tensor de rango $k-1$.
¿Pero si un escalar se define como una magnitud física con una magnitud, un vector como una cantidad física con magnitud y dirección, puede un tensor se define de una manera similar como un vector con cualidades adicionales?
Creo que una manera más segura, a nivel de base, del pensamiento de un tensor, es pensar en ello como una función que toma en $n$ vectores y escupe un número, y en cada uno de argumentos, satisface:
$$T(a{\vec v} + b {\vec w}) = aT({\vec v})+ bT({\vec w})$$
donde $a,b$ son números y ${\vec v}, {\vec w}$ es vectores, y se suprimen los otros argumentos de $T$. Hay detalle sin duda adicional para entrar (sobre uno-formas, gradientes y transformación de coordenadas), pero esta es la idea base.
Los matemáticos del modelo de las ideas y el estudio de sus propiedades. En matemáticas, un espacio vectorial de los modelos de un conjunto de cosas que se comportan como pequeñas flechas cuando se suman y se multiplican por los números.
La definición matemática de un espacio vectorial es un conjunto con una operación de suma y una multiplicación por el número de operación que sigue a las 8 reglas. Cualquier cosa que cumpla con la definición es de interés para los matemáticos. Por ejemplo, el conjunto de funciones continuas en el intervalo [0,1] es un espacio vectorial.
Los matemáticos descubrir cosas como todo espacio vectorial tiene al menos una base. Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Este número se denomina la dimensión.
Desde un tensor espacio cumple con la definición de un vector en el espacio, es un espacio vectorial.
Los físicos a menudo encuentran que los matemáticos inventar herramientas útiles. Pero los físicos están interesados en el modelado del comportamiento del universo. Que el uso de las herramientas en las diferentes maneras en que los matemáticos hacen. Por ejemplo, son a menudo menos interesado en rigor matemático.
Para la mayor parte, los físicos utilizan vectores para modelo de cosas como el espacio o el impulso. Encontrar los vectores son útiles si tienen una norma (o métrica o longitud) y todos los componentes son el mismo tipo de cantidad. La dirección de avance es el espacio. De lado es el espacio.
Si todos los componentes son los mismos, puede cambiar la base y usar el espacio vectorial para modelar el universo. Si estoy mirando hacia adelante y está a 45 grados a la derecha, podemos utilizar $F = ma$.
Debido a esto los físicos están muy interesados en cómo los vectores de transformar al cambiar la base.
Y aquí es donde los tensores son diferentes. Los tensores de rango 2 a transformar de manera diferente que los tensores de rango 1. Así que para los físicos son diferentes de los objetos.
Como un aparte, tenga en cuenta que en la relatividad, uno de los componentes es diferente que los demás. Los físicos han definido un útil, no del todo-kosher métrica. Ellos han encontrado que cuando se cambia la base, se obtiene un modelo útil del universo desde el punto de vista de un observador en una diferente velocidad.
De otro lado, los matemáticos considerar el espacio de fase de la mecánica estadística a ser un espacio vectorial. Pero los físicos no les importa mucho acerca de las propiedades de los vectores del espacio de fase. No sumar vectores o cambiar la base. Sigue la trayectoria de un punto como un sistema que evoluciona.
Si desea tensores antisimétricos, no son bien conocidos geométricas bloques de construcción. Por ejemplo, si usted toma dos vectores ortogonales puede multiplicar para obtener el orientado plano plano (con la orientación determinada por el orden que multiplicado ellos). De manera similar para los tres mutuamente ortogonal de vectores, tenga en cuenta que hay 6 maneras de multiplicar, pero debido a que pares anticommute, sólo hay dos orientaciones. En una $n$-dimensional en el espacio que usted podría tener tantos como $n$ mutuamente ortogonales los vectores de modo que tienen un rango $n$ objeto.
Ahora bien, si usted desea considerar la adición de estas rango superior antisimétrica cosas que usted puede insistir en que, además de distribuir a través de la multiplicación. Y ahora lo que necesita para tomar una decisión, asumir todos los vectores anticommute, (no sólo el ortogonal) y el uso de $\wedge$ para el símbolo de la multiplicación y obtener un álgebra de grassmann. O que se supone que un vector multiplicado por sí mismo da el cuadrado de la longitud y se obtiene un álgebra de clifford.
Pero, en realidad, me mintió acerca de tener que hacer una opción, ya que utiliza la $\wedge$ para denotar el antisimétrica producto de vectores, podemos tener ambos productos sinc ethey se definen en la misma cosa (combinaciones lineales de los productos de vectores ortogonales). De modo que podemos tener el álgebra de grassmann producto y el álgebra de clifford producto, y llamar a un álgebra geométrica. Los bloques de construcción básicos son los productos de vectores ortogonales, las cuales son poco orientados a 1-volúmenes, 2 volúmenes, de 3 volúmenes, ... o $n$-volúmenes. Todo lo demás es una combinación lineal de ellos.
Sin embargo, los tensores no incluye tensores simétricos, por lo que esto no daría esos tensores como objetos geométricos. Así que usted podría tener que piensa en el total de espacio de tensores como multilineal de las funciones de los vectores.
Al introducir el tensor de tensiones para estudiantes de pregrado ingenieros, tomo nota de que, si un cuerpo se deforma por un estado de tensión, y nos imaginamos que es dividida por un plano, entonces hay una (fuerza) de vectores que actúan a través de (pero no es normal) el plano. Para especificar completamente el estado de tensión, se debe cortar el cuerpo con tres planos, cada uno de los cuales puede ser especificada por el vector normal. Así, el estrés es algo que tiene un componente de vector asociado con cada dirección en el espacio. Este 'algo' es un (2º orden) tensor.
En resumen:
...un vector tiene un componente escalar (por falta de una palabra mejor) en cada dirección en el espacio
...a (2º orden) tensor tiene una componente del vector asociado con cada dirección en el espacio
Alternativamente:
...un vector que tiene magnitud y dirección
...un tensor tiene magnitud(s) y dos direcciones (para el componente del vector y uno para el avión).
Me parece que esto le da una mejor imagen física de los matemáticos' 'algo que se transforma de acuerdo a...' o 'una asignación entre...'. Tengo que hacer más tarde.
Hay una interpretación física de un tensor
Desde una perspectiva geométrica, y teniendo en cuenta la dualidad entre (1, 2, 3...) y (1, 2, 3 ...) -vectores, se observa que una sola forma (rango 1 co-variante tensor) puede ser representada como una serie de superficies que produce un número cuando se contrae con un vector; el número es el número de superficies traspasado por el vector.
Generalizar a rangos más altos, una de dos formas puede ser representado como un 'nido de abeja' como la estructura que produce un número cuando se contrae con una superficie con un sentido de la circulación; el número es el número de tubos de perforación de la superficie.
Tres formulario puede ser representado como un 'huevera' como la estructura que produce un número cuando se contrae con un volumen; el número es el número de células dentro del volumen.
Esto es esencialmente establecidos en las páginas 115 a 117 de MTWs "Gravitación". Por ejemplo:
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