Un interesante desigualdad $\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}<\frac{\sqrt{2}}{2}, \ n\ge1$

Question

Esta es una de las hermosas desigualdades de desigualdades elementales por Mitrovic $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}<\frac{\sqrt{2}}{2},$ $, que es fácil de demostrar por cálculo utilizando que $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}=\log(2)$.

Ahora, la pregunta es ¿cómo se probaría sin cálculo?

Answer 1

Cauchy-Schwarz y telescópico creativo y un poco de suerte:

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n+k-1}\sqrt{n+k}}\stackrel{CS}{\leq}\sqrt{n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{n+k-1}-\frac{1}{n+k}\right)}=\color{red}{\frac{1}{\sqrt{2}}}.$$

Answer 2

(Alternativamente) Usando Aritmética de la raíz media cuadrada significa obtenemos

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}<\sqrt{n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^2}}<\sqrt{n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)(n+k-1)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$