¿Por qué la respuesta a este ejemplo de difusión es intuitivo?

Question

Imaginar una disminución lineal en la concentración de izquierda a derecha. El uso de la primera ley de Fick,

$J = -D \frac{d \psi}{d x}$

para todo x, de izquierda a derecha, tenemos la misma cantidad de flujo debido a que la disminución es lineal.

Por lo $J(x) = m$

De acuerdo a la segunda ley de Fick,

$\frac{d \psi}{d t} = -D \frac{d^2 \psi}{d x^2} = \frac{d J}{d x}$

Por lo $\frac{d J(x)}{d x} = 0$

así que el dJ/dx es sólo 0, ya que la 2ª derivada de una línea es 0. Sin embargo, esto parece poco intuitivo. Espero como siempre que exista un gradiente de concentración, debe haber un cambio en la concentración en cada punto hasta que la concentración es completamente uniforme. Debe haber un error en mis cálculos o razonamientos, de donde es ella?

EDITAR:

Para aclarar las condiciones de frontera, imaginar un cuadro cerrado sin flujo o flujo en los bordes.

Answer 1

Como Ted Bunn dijo, el lineal del perfil de concentración es sólo un estado estacionario si hay un flujo continuo en un extremo y un constante flujo de salida en el otro. Este flujo neto es lo que preserva el gradiente de concentración.

Con la "caja cerrada" condición de frontera en lugar de ello, no es de hecho un error en su razonamiento, porque el perfil lineal ya no es un estado estable. Así que, para hacer las cosas explícito, usted debe tener lugar:

$$\left.J(x)\right|_{t=0} = m$$ $$\left.\frac{\partial\psi}{\partial t}\right|_{t=0} = 0$$ para todo x en el interior de la caja.

Sin embargo, estos resultados no implican que $\psi(x)$ es siempre constante. En el momento $t=0$, hay un flujo constante de izquierda a derecha, sino porque la caja está cerrada esto significa que la concentración en el borde izquierdo de la caja es la disminución de la concentración en el borde derecho es cada vez mayor (a pesar de que todavía no han comenzado a cambiar en cualquier lugar en el interior - Si usted desea, usted puede decir que $\partial\psi/\partial t(t=0)$ tiene la forma de dos funciones delta de Dirac).

La única forma que conozco para obtener la solución completa es la expansión en serie de Fourier. Para la concreción, dicen que el cuadro se extiende desde $x=-1/2$$x=1/2$. La base correcta de funciones propias a utilizar para esta condición de contorno contiene las funciones cuya derivada es cero en los bordes de la caja, es decir, $\sin(n \pi x)$ para las impares de n y $\cos(n \pi x)$ incluso n. Puesto que la condición inicial es una función impar, los cosenos no aparecen. También, para mayor comodidad, ajuste la pendiente inicial igual a $\pi^2/4$.

$$\psi(x,t=0) = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{4} x = \frac{\pi^2}{8} - \sum_{n\text{ odd}} \frac{\sin(n\pi x)}{n^2}$$ (donde la última igualdad es de la conocida serie de Fourier de una onda triangular) $$\psi(x,t) = \frac{\pi^2}{8} - \sum_{n\text{ odd}} \frac{\sin(n\pi x)}{n^2} e^{-nt/\tau}$$

donde $\tau$ es una escala de tiempo que depende de la difusión constante y dimensiones (si quieres, puedo trabajar de lo que realmente es, pero es irrelevante para la discusión).

Si se hace una gráfica de esta función en diferentes $t$ valores crecientes desde cero, se puede ver claramente que la concentración se está convirtiendo en suavizan y tiende hacia una concentración uniforme de el valor promedio, $\pi^2/8$.

Así, aunque en $t = 0$ parece que la concentración no cambia en cualquier lugar ($\partial\psi/\partial t$ = 0), de inmediato comienza a cambiar, y la difusión finalmente conducir a una concentración uniforme.

Aquí están algunas parcelas he hecho, el uso de términos a través de $n=15$:

Answer 2

El error está en tu intuición. Su cálculo es correcto.

Una cosa que puede ayudar a su intuición es pensar acerca de lo que ocurre en los bordes de la región bajo consideración. Debe haber un flujo continuo desde un extremo y un constante flujo de salida desde el otro extremo. El líquido está continuamente fluyendo "cuesta abajo" (de alta concentración a la baja), pero la fuente en la parte "superior" constantemente repone las cosas, por lo que el gradiente de concentración de restos.

No sé si eso ayuda, pero es lo mejor que puedo hacer.