Convergencia de la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{(\sin n)^n}{n}$.

Question

Por favor determinar si converge la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(\sin n)^n}{n}$.

(Nota: en Mathematica, el resultado tiende a converger. Por otra parte, este es un problema mal copiado del examen de cálculo avanzado, así que no sabemos de la dificultad del problema [tal vez puede ser resuelto en las matemáticas de la Universidad]. )

Answer 1

EDIT: Esta prueba contiene un error y no sé si puede ser guardado (ver los comentarios) - me voy de aquí en caso de que te de una idea o si se puede corregir...

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He logrado demostrar la (absoluta!) la convergencia de la serie basada en una idea en el comentario del usuario @xavierm02, pero mi prueba utiliza un profundo (y relativamente moderno) resultado en Diophantine aproximación. A mí me parece que desde que uso el deep resultado sólo para demostrar que algo que parece insignificante, es de hecho, insignificante, y te dejo algunos grados de libertad en la prueba, me siento optimista de que hay un más elemental forma de hacer esta parte.

Lema. Sólo hay un número finito de soluciones a la desigualdad $\left| \sin n \right| > (\frac 1 2) ^{1/\sqrt n}$.

La prueba del Lema. Voy a omitir algunos (creo que simple) los detalles de la prueba. Deje $\epsilon > 0$ ser muy pequeñas y observar la desigualdad $|\sin n| > 1-\epsilon$. Desde $\sin$ es Lipschitz continua y la igualdad de a $\pm 1$ exactamente en los puntos de $\pi/2 + \pi k$ para los números enteros $k$ (y es simétrica en torno a estos puntos), hay algunos $\delta = \Theta(\epsilon)$ de manera tal que la desigualdad anterior es equivalente a: $|n - \pi/2 - \pi k| < \delta$. (Es decir, las soluciones son ahora tanto en$n$$k$.)

Dividiendo por $\pi n$ obtenemos:

$$|\frac 1 \pi - \frac {2k+1} {2n}| < \frac \delta {\pi n}$$

Este es un Diophantine aproximación problema: ¿cómo podemos aproximar $1/\pi$ por racionales? Antes de responder a la pregunta, vamos a enchufar $\delta = \Theta(\epsilon)$ $\epsilon$ desde el lexema. Así que hasta algunas constantes, lo que nos interesa

$$|\frac 1 \pi - \frac {2k+1} {2n}| < \frac 1 n \left(1 - \left(\frac 1 2\right)^{1/\sqrt n} \right)$$

Ahora la cita de Mahler teorema [1953]: $1/\pi$ no es un número de Liouville*, lo que significa aproximaciones racionales son sólo "exponencialmente bueno": Dada una aproximación racional a $p/q \approx 1/\pi$, la diferencia de $p/q - 1/\pi$ es limitada (abajo!) por alguna potencia constante de $q$. Sin embargo, nuestro Diophantine la desigualdad requiere de un superpolynomial aproximación, por lo que no puede ser resuelto infinidad de veces. Edit: Esto está mal.

_{* En realidad, de Mahler es el teorema acerca de $\pi$, pero los números de Liouville son cerrados bajo el recíproco de la operación.}

La proposición. La serie $\sum_{n=1}^\infty \frac {(\sin n)^n} n$ converge absolutamente.

Prueba. Todos, excepto una cantidad finita de valores de $n$ satisfacer $|\sin n|^n \le \left( \frac 1 2 \right)^{\sqrt n}$, que decae al menos tan rápido como $1/n^3$. QED.