Grupo álgebra $k[G]$ ($G$ finito), ¿por qué es un $k[G]$-módulo el mismo como $k$-representación de $G$?

Question

Estoy leyendo el de Atiyah-MacDonald libro sobre Álgebra Conmutativa. En el comienzo del módulo capítulo en la página 17, hacen un ejemplo que no entiendo. Ejemplo 5) es:

$G$ = finito grupo, $A = k[G] =$ grupo-álgebra de $G$ sobre el campo de $k$ (lo $A$ no es conmutativa, a menos que $G$ es). A continuación, $A$- módulo de $= k$-representación de $G$.

Estoy lejos de la comprensión de cómo las $k[G]$-module = $k$-representación de $G$. Yo trato de descansar las definiciones de la siguiente manera:

Después de la lectura de los artículos de Wikipedia en monoid anillos y el grupo de los anillos, he llegado a la conclusión de que un grupo de álgebra es una triple $(k[G], +, \star)$, donde \begin{align} k[G] = \{ \phi: G \rightarrow R \mid \{g \in G \mid \phi(g) \neq 0 \}\ \text{finite} \}, \tag{1} \end{align} y donde + es pointwise adición y $\star$ es la convolución \begin{align} (\phi \star \psi)(g) = \sum\limits_{kl = g} \phi(k) \psi(l). \end{align} De acuerdo a la definición de un módulo en la misma página (17) en Atiyah-MacDonald, un $k[G]$-módulo es un par $(M, \mu)$ donde $M$ es un (aditivo) Abelian grupo y $\mu$ es un mapa \begin{align} \begin{array}{rccl} \mu: &k[G] \times M &\rightarrow &M \\ &(\phi, x) &\mapsto &\phi x := \mu(\phi, x) \end{array} \end{align} tal que \begin{align} \phi(x + y) &= \phi x + \phi y, \\ (\phi + \psi) x &= \phi x + \psi x, \\ (\phi \psi) x &= \phi(\psi x), \\ 1 x &= x. \end{align}

Pregunta 1: ¿Cómo es la especificación de una $k[G]$-módulo equivalente a la especificación de un $k$-representación de $G$?

Pregunta 2: ¿por Qué es la finitud de $G$ necesario? ¿Tiene algo que ver con la finitud de la definición (1) de $k[G]$?

Answer 1

Esta equivalencia es muy formal de la materia, y la finitud de $G$ (ni ninguna de las propiedades del campo $k$, ni el hecho de que $G$ es un grupo en lugar de sólo una monoid) no juega un papel en ella. La información básica que se da en ambos casos por un a $k$-espacio vectorial $V$ equipada con una "multiplicación" mapa de $m:G\times V\to V$ que debe satisfacer

• la asociatividad con respecto al primer argumento: $m(g_1,m(g_2,v))=m(g_1g_2,v)$ todos los $g_1,g_2\in G$ $v\in V$

• $k$-linealidad con respecto al segundo argumento: $m(g,\lambda v_1+\mu v_2)=\lambda m(g,v_1)+\mu m(g,v_2)$ para todos los $g\in G$, $v_1,v_2\in V$ y $\lambda,\mu\in k$.

Si en esta descripción la revisión individual de los elementos del grupo $g$, luego el segundo punto dice que $v\mapsto m(g,v)$ $k$- lineal mapa de $\rho_g:V\to V$, y, a continuación, la primera condición dice que $\def\End{\operatorname{End}}\rho:G\to\End_k(V)$ es un monoid homomorphism, y por la restricción de codominio un grupo homomorphism $G\to GL_k(V)$ si $G$ es un grupo, en otras palabras, este describe con precisión un $k$-representación de $G$.

Si uno de los otros de la mano de empezar con $V$ Abelian grupo, entonces tienes dos estructuras adicionales: el $k$-espacio vectorial estructura que define escalar multiplicaciones por $\lambda\in k$, y el multiplicaciones $\rho_g$, que son compatibles con la estructura de espacio vectorial (se $k$-lineal) y definir un monoid acción (el primer punto). Estas son precisamente las condiciones necesarias para ser capaz de definir la multiplicación formal $k$-de las combinaciones lineales de elementos de $G$ por la regla $$ \mu(\sum_i \lambda_i g_i), v)=\sum_i \lambda_i m(g,v) $$ siempre que la suma es finita (infinito de combinaciones lineales que no tienen ningún sentido, a menos que todos, pero un número finito de coeficientes son cero), y por lo que $\mu$ satisface $\mu(\phi\psi,v)=\mu(\phi,\mu(\psi,v))$. Aquí la multiplicación de formal combinaciones lineales de los elementos del grupo se define por la ampliación de la multiplicación del grupo por bilinearity: $$ \Bigl(\sum_i \lambda_i g_i\Bigr)\Bigl(\sum_j \kappa_j g_j\Bigr)=\sum_{i,j}\lambda_i\kappa_j g_ig_j $$ Pero la colección de formal combinaciones lineales con que la multiplicación (y la obvia $k$-espacio vectorial estructura) es sólo el álgebra $k[G]$, y apenas hemos requerido que $\mu$ definir una $k[G]$ estructura del módulo ($k$- espacio vectorial axiomas de $V$ son solo el conjunto de estos requisitos se limita a los escalares en el subalgebra $k=k[e]$$k[G]$.)

Como se puede ver, sólo se requiere un número finito de elementos de $G$ tener coeficiente distinto de cero en un elemento de $k[G]$ es algo necesario para hacer la formal de las expresiones que se utilizan tienen sentido, y, en particular, tener bien definida la multiplicación por $k[G]$. No restringir $G$ sí, en cualquier forma, de hecho, ellos son, precisamente, hay que ser capaz de hacer esta construcción igualmente bien cuando se $G$ es infinito como cuando es finito.