Estoy teniendo problemas para contestar a la siguiente pregunta:
Problema
Mediante la integración de la función:
$$f(z) = \frac{R + z}{z(R - z)}$$
ronda de un adecuado contorno, demostrar que, para $0 \leq r < R$,
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{R^2-r^2}{R^2 - 2Rr\cos(\theta) + r^2}\mathrm{d}\theta = 1 $$
Mi Intento
Lo que yo creo que me quieren hacer es usar la ecuación:
$$\int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_{z_1}^{z_2} f(z) \mathrm{d}z = \int_a^bf(z(t))\cdot z'(t)\mathrm{d}t $$
donde C es un contorno de$z_1$$z_2$$z(a) = z_1$$z(b) = z_2$. Luego, debo encontrar un contorno de $z(t)$ en términos de $r$ $t$ tal forma que:
$$f(z(t))\cdot z'(t) = \frac{R^2-r^2}{R^2 - 2Rr\cos(t) + r^2} $$
Y luego con este contorno me podría encontrar los valores de $z_1$ $z_2$ lo que significa que podría evaluar:
$$ \int_{z_1}^{z_2} f(z) \mathrm{d}z $$
que debe ser igual a 2$\pi$ o algo así. Sin embargo, hasta ahora no he sido capaz de encontrar un adecuado z(t). El más cercano que he llegado es $z(t) = re^{i\theta}$ que produce:
$$f(z(t))\cdot z'(t) = \frac{R^2\cdot i - 2Rr\sin(t) + r - r^2\cdot i}{R^2 - 2Rr\cos(t) + r^2} $$
Sin embargo, todo este enfoque podría estar equivocado. He llegado a una etapa cuando comienzan a cuestionar su enfoque completo y siento como recurrir a la violencia...de Acuerdo a Einstein, sólo locos hacer la misma cosa una y otra vez y esperar resultados diferentes......Oh, espera, que soy yo...
Por favor me ayude.
Edición 1
Primero de todo gracias a todos los que me han ayudado aquí - sus sugerencias son como una balsa salvavidas a un hombre que se está ahogando!
Mariano: yo no he hecho nada en relación a los residuos en esta etapa del curso - así que la pregunta debería ser responsable sin el uso de ellos. Esa técnica tiene un aspecto muy potente y aunque tengo la esperanza de obtener una buena comprensión de la misma en el futuro...
A Hans Lundmark: Tu enlace me ayudó a ver la imagen más grande, poner esta ecuación en el contexto (wow sus más que un producto de mi profe de la imaginación!)...Gracias.
J. M: la nota ha ayudado mucho para eliminar el registro de jam en mi cabeza, pero todavía hay algunos problemas que permanecen con mi respuesta. Yo aprecio mucho sus comentarios en mi 2º intento.
2º Intento
(Paso 1)
La función de $f(z)$ puede ser descompuesto mediante fracciones parciales:
$$f(z) = \frac{R + z}{z(R - z)} = \frac{1}{z} + \frac{2}{R - z}$$
y, a continuación, integrado con respecto a $z$:
$$\int f(z)dz = log(z) - 2log(R - z) $$
(Paso 2)
Con esta información podemos evaluar:
$$\int_C f(z)dz $$
donde C es la orientación positiva círculo de $z = re^{i\theta}$. Porque log(z) no está definida en su rama de corte que no puede integrar alrededor de todo el círculo, pero hay que dividir el círculo en dos mitades $C_1$$C_2$.
Deje $C_1$ denotar la mitad derecha del círculo donde $ -\frac{\pi}{2} <= \theta <= \frac{\pi}{2}$ y considerar la rama: $log(z) = ln(r) + i\theta$ donde $-\pi <= \theta <= \pi$. Por lo tanto:
$$ \int_{C_1} f(z) = [log(z) - 2log(R - z)]_{-ri}^{ri} $$
lo que equivale a:
$$ \int_{C_1} f(z)dz = \pi{i} - 2log(R - ri) + 2log(R + ri) $$
Deje $C_2$ denotar la mitad izquierda del círculo, donde $\frac{\pi}{2} <= \theta <= \frac{3\pi}{2}$ y considerar la rama: $log(z) = ln(r) + i\theta$ donde $0 <= \theta <= 2\pi$. Por lo tanto:
$$ \int_{C_2} f(z) = [log(z) - 2log(R - z)]_{ri}^{-ri} $$
lo que equivale a:
$$ \int_{C_2} f(z)dz = \pi{i} - 2log(R + ri) + 2log(R - ri) $$
y puesto que:
$$ \int_{C} f(z)dz = \int_{C_1} f(z)dz + \int_{C_2} f(z)dz $$
de ello se sigue que:
$$ \int_{C} f(z)dz = 2\pi{i} $$
(Paso 3)
Esta es la parte actualmente estoy teniendo dificultades con:
¿La ecuación:
$$\int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_a^bf(z(t))\cdot f'(t) dt $$
implica que:
$$\Im\int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_a^b\Im[{f(z(t))}\cdot f'(t) dt] $$
Porque si lo hiciera podría decir que:
$$ \Im(2\pi{i}) = \int_0^{2\pi} \frac{R^2-r^2}{R^2 - 2Rr\cos(\theta) + r^2}\mathrm{d}\theta $$
y la prueba estaría completa...Pero no sé si puedo hacer esto?
¿Alguien ayudar por favor?
Edit 2
Gracias a J. M paso 3 debe ser:
Puesto que la integral operador es lineal:
$$ \int z(t) \mathrm{d}t=\int \Re z(t) \mathrm{d}t+i\int \Im z(t) \mathrm{d}t$$
por lo tanto:
$$ \int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_a^b\Re{f(z(t))}\cdot f'(t) dt + i\int_a^b\Im{f(z(t))}\cdot f'(t) dt $$
también sabemos que:
$$ \int_{0}^{2\pi}\Re[{f(z(t))}\cdot f'(t) dt] = 0 $$
y:
$$ \int_C f(z) \mathrm{d}z = 2{\pi}i $$
y:
$$ \Im[f(z(t))\cdot z'(t)] = \frac{R^2-r^2}{R^2 - 2Rr\cos(t) + r^2} $$
Por lo tanto:
$$ \int_C f(z) \mathrm{d}z = i\int_0^{2\pi}\Im[{f(z(t))}\cdot f'(t)] dt $$
$$ 2{\pi}i = i\int_0^{2\pi}\Im[{f(z(t))}\cdot f'(t)] dt $$
$$ 2{\pi} = \int_0^{2\pi}\Im[{f(z(t))}\cdot f'(t)] dt $$
$$ 2{\pi} = \int_0^{2\pi}\frac{R^2-r^2}{R^2 - 2Rr\cos(t) + r^2}dt $$
y la prueba está completa. Impresionante!
Espero que esto ayude a otro tipo por ahí que está tratando de entender todo esto...
