Problema concurso dura

Question

He encontrado este problema en una colección de problemas de concurso de una competencia rusa en 1995 y no fue capaz de resolverlo.

Resuelve de verdad $x$: $$ \cos (\cos (\cos (\cos(x))))=\sin (\sin (\sin (\sin (x)))) $ $

Mi conjetura es que no hay solución, pero ¿cómo lo pruebo? Traté de calcular

$LHS\ge \cos (1) \ge \cos(\pi/3)=1/2 $

y el lado derecho del mismo modo pero los rangos se superponen...

¿Tienes una idea mejor?

Answer 1

Reformular el problema como:

$$ \sin( \pi/2 + \sin(\pi/2 + \sin(\pi/2 + \sin(\pi/2 + x) ) ) ) = \sin(\sin(\sin(\sin(x))))$$

$$ \pi/2 + \sin(\pi/2 + \sin(\pi/2 + \sin(\pi/2 + x) ) ) = \sin(\sin(\sin(x))) + 2\pi n$$ lo que implica $$ \sin(\pi/2 + \sin(\pi/2 + \sin(\pi/2 + x) ) ) = \sin(\sin(\sin(x))) + 2 \pi (n - 1/4).$$ Debe ser que $n = 0$ ya que ambos sine términos deben tener valores en $[-1,1]$. Para el resto de los cálculos, se puede tomar sólo el principal valor de $\arcsin$ por este mismo argumento. Así $$ \sin(\pi/2 + \sin(\pi/2 + \sin(\pi/2 + x) ) ) = \sin(\sin(\sin(x))) - \pi/2,$$ y debe ser así que ambos lados de la expresión anterior encuentran en el intervalo de $[-1, 1 - \pi/2]$. Pero luego, tomando la $\arcsin$ nuevo, tenemos $$\pi/2 + \sin(\pi/2 + \sin(\pi/2 + x) ) = \arcsin( \sin(\sin(\sin(x))) - \pi/2) $$ Puesto que la expresión estaba originalmente en el intervalo de $[-1, 1 - \pi/2]$, luego de tomar la $\arcsin$ produce una expresión con valores en el intervalo de $[ - \pi/2, \arcsin(1 - \pi/2)]$ en ambos lados. Entonces $$ \sin(\pi/2 + \sin(\pi/2 + x) ) = \arcsin( \sin(\sin(\sin(x))) - \pi/2) - \pi/2$$ y en el lado izquierdo, claramente, la expresión debe ser en $[-1,1]$, mientras que en el lado derecho, la expresión debe estar en el intervalo de $[-\pi, \arcsin(1 - \pi/2) - \pi/2]$.

Ahora es suficiente para mostrar que estos dos intervalos no se intersecan. En particular, vamos a mostrar que el $\arcsin(1 - \pi/2) - \pi/2 < -1$. Utilizando el hecho de que $\pi > 3$, $$ \arcsin(1 - \pi/2) - \pi/2 < \arcsin(1 - 3/2) - \pi/2 = -\pi/6 - \pi/2 = - 2\pi/3 < -1 $$

Answer 2

Esto no es una solución, pero aquí hay una foto bastante convincente de la recorre en el cuarto de coseno y seno (en azul y rojo, respectivamente).

Sugiere que usted no puede obligado uniformemente los dos aparte de uno otro. (Las funciones parecen tener ligeramente superpuestas gamas).