La estrategia general es esta. Tome $\delta$ de una expresión que implique $\text{grad}\, X$, primero acaba de tomar la variación (que permite la $\delta$'s para estar dentro de la $\text{grad}$). Entonces termina con $\text{grad}(\delta X)$. Pero todo esto es dentro de la integral. Ahora, a integrar por partes, para obtener el $\text{grad}$$\delta X$.
Aquí es un ejemplo común. Considere la posibilidad de$$E = \int (f^2 + \text{grad}\,f \cdot \text{grad}\,f).$$Let us compute $\delta E$. We have$$\delta E = \int (2f\,\delta f + 2 \,\text{grad}\,f \cdot \text{grad}(\delta f)).$$Now integrating the second term by parts, we get$$\delta E = \int (2f\,\delta f - 2\,\text{div}(\text{grad}\,f)\,\delta f).$$That is,$$\delta E = \int (\delta f)(2f - 2\,\text{div}(\text{grad}\,f)).$$Now we have$${{\delta E}\over{\delta f}} = 2f - 2\,\text{div}(\text{grad}\,f).$$So, ${\delta E}/{\delta f} = 0$ yields$$\text{div}(\text{grad}\,f) = f.$$hacer una cosa similar en su ejemplo.
Mi grads $\nabla_j$, $\nabla_k$. Ya que los gradientes son con respecto a las coordenadas diferentes, lo que haría a continuación, pasar a integrar el segundo término por partes? También necesito dos diferentes $f$'s como yo necesita un complejo conjugado. Puede usted por favor la actualización de todo esto? ¿Cómo son las variaciones de los dos términos que he publicado diferentes?
Para Hermitian conjugado, tenemos $\delta(X^\text{H}) = (\delta X)^\text{H}$. Para la integración por partes, tenemos que la integral es sobre todas las coordenadas. Así, podemos integrar por partes, por ejemplo,$$(\text{something})\nabla_j(\text{something else}),$$yielding$$-\nabla_j(\text{something})(\text{something else}).$$In the final integral, we get$$\int \left((\text{stuff})\,\delta X + (\text{other stuff})(\delta X)^\text{H}\right).$$The vanishing of the variation then requires that $\ texto{cosas} = 0$ and $(\texto{otras cosas}) = 0$. (Probably, $(\texto{otras cosas})$ will be the Hermitian conjugate of $\text{cosas}$, so we will get just one condition.) On the other hand, if we have a term such as $\text{Tr}((\text{cosas})(\delta X)^\text{T})$ we replace it by its equal, $\text{Tr}((\text{cosas})^\text{T}(\delta X))$.
Yo no entiendo por partes. Se dirigió de este en la actualización, gracias. Entiendo esta parte, yo simplemente no obtener todos los detalles que intervienen en el cálculo, que es lo que estoy buscando específicamente en la recompensa. Así que no tengo idea de lo que algo, algo, cosas, otras cosas son. Yo creo que tienes razón, yo no sé lo que todo esto significa. (Esta es claramente la manera más simple de ti que de mí.) Necesito ver pruebas reales. ¿Cómo todos los índices de $f$ y los gradientes entran en juego? Esto no se aborda en cualquier lugar en su respuesta. Muchas gracias por tu ayuda.
Gracias, realmente aprecio la actualización, aún tengo preguntas. La simplificación en el uso de "cosas", a "otras cosas", "algo", etc. sólo hace que sea mucho más confuso para mí, como ya he dicho estoy buscando una completa solución rigurosa. Una simple pregunta que tengo es la siguiente, si$$E = \int \left(f^2 + \nabla_j f_{\alpha j} \nabla_k \bar{f}_{\alpha k}\right)$$what is $\delta E$? Is it$$\delta E = \int \left(2f\,\delta f + 2\nabla_jf_{\alpha j} \cdot \nabla_k \delta \bar{f}_{\alpha k}\right)?$$I do get how you got $\delta E$ basa en el ejemplo que proporcionan, pero este es el caso más simple. (Yo sólo haz esto.)
Creo que, a fin de que yo pueda entender esto, usted tendrá que
haga lo siguiente.
En primer lugar, eliminar todo lo que no es relevante para tu pregunta. Es necesario que las matrices? Si no, el uso de funciones comunes. Es necesario que las cosas sean complejas? Si no, el uso de reales. Es necesario que haya muchas variables independientes? Si no, el uso de una variable. Hay términos en su integral que no estén vinculadas a su pregunta? A continuación, eliminarlos. Es decir, encontrar la manera más simple, más transparente de la situación en la que su problema.
Segundo, el estado plenamente lo que (en ese contexto) la pregunta es. Que es, me dicen que todo está en función, lo que las integrales son más, lo que usted desea hacer con los integrales, etc.
Sí es necesario que todo está matrices. Puedo hacer el simple caso de escalares (funciones comunes). Es necesario hay que muchas de las variables independientes. Los términos en mis integral son relevantes y no hay nada que quitar. La situación más simple mi problema es que lo que has publicado como su respuesta (la única situación en que me entiendan). Si usted no puede ayudar más, gracias de nuevo, le agradezco su ayuda. Voy a tratar de editar mi post ahora para hacerlo más sencillo. Sin embargo, tengo que lidiar con matrices complejas y $\nabla j$, $\nabla k$ (ese es todo el problema para mí, yo estoy bien con escalares.)
Me hizo mucho más simple y mostró lo que yo pienso. Nota, me hizo más fácil olvidarse de los diferentes gradientes, sólo me eligieron cada gradiente de $\nabla k$, $\nabla k$, y también es más sencillo al tener la matriz de índices de la misma. No puedo hacer más sencilla sin la eliminación de la estructura del problema, que debo tratar con matrices complejas. Por favor, hágamelo saber si usted tiene alguna sugerencia. Gracias de nuevo por todo, realmente lo aprecio.
Gracias. Ahora entiendo. Sí, lo que están haciendo es correcto.
Algo similar se plantea para funciones comunes. Deje $f$ ser una función de variable compleja $z$. El real $f$ puede ser escrito en términos de $z$ $\overline{z}$ (complejo conjugado de $z$). Por ejemplo, $f = z\overline{z}$. ¿Qué es $df/dz$? ¿Cómo hacer el"$d/dz$"$\overline{z}$? La regla es que cuanto $z$ $\overline{z}$ como independiente para fines de tomar la derivada. Así,$${{df}\over{dz}} = \overline{z}, \quad {{df}\over{d\overline{z}}} = z.$$This is convenient, because, for example we have (for a general $f$)$$\overline{{df}\over{dz}} = { {d\overline f}\over{d\overline z}}.$$
