¿Podemos encontrar $\vec{f} : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3 $ tal que $\vec{f}(t) \cdot \frac{d^2 \vec{f}(t)}{dt^2} =0$ y $\vec{f}(0) = \vec{f}(T)$ $T >0$? Excluir los casos triviales. Quiero $\frac{d \vec{f}}{dt} \neq 0$ por parte de la trayectoria.
Respuesta
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Definir $$x(t) = C_1e^t\cos t + C_2e^t\sin t + C_3e^{-t}\cos t + C_4e^{-t}\sin t$$ and $$y(t) = C_2e^t\cos t - C_1e^t\sin t - C_4e^{-t}\cos t + C_3e^{-t}\sin t$$ for some constants $ C_1, C_2, C_3, \in \mathbb{R}$ C_4.
Diferenciando dos veces los rendimientos $$x''(t) = -2C_1e^t\sin t + 2C_2e^t\cos t + 2C_3e^{-t}\sin t - 2C_4e^{-t}\cos t = 2y(t)$$ and $% $ $y''(t) = -2C_2e^t\sin t - 2C_1e^t\cos t - 2C_4e^{-t}\sin t - 2C_3e^{-t}\cos t = -2x(t)$
Así que si ponemos $f(t) = \begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\\0\end{bmatrix}$ y $f''(t) = \begin{bmatrix}2y(t)\\-2x(t)\\0\end{bmatrix}$ y por lo tanto, $f(t) \cdot f''(t) = 0$, como se desee.
Si elegimos $C_1 = 1$, $C_2 = 1$, $C_3 = -e^{\pi}$ y $C_4 = e^{\pi}$, tenemos $x(0) = x(\pi)$ y $y(0) = y(\pi)$. Entonces, $f(0) = f(\pi)$, según sea necesario.
Por último, es fácil ver que $f'(t) \neq 0$ para la mayoría de los valores de $t$.
