Encuentre el valor de $x_1^6 +x_2^6$ de esta ecuación cuadrática sin resolverla

Question

Me dieron esta pregunta como tarea y nunca había visto algo similar.

Resolver para $x_1^6+x_2^6$ para la siguiente ecuación cuadrática donde $x_1$ y $x_2$ son las dos raíces reales y $x_1 > x_2$ sin resolver la ecuación.

$25x^2-5\sqrt{76}x+15=0$

Intenté factorizarlo y obtuve $(-5x+\sqrt{19})^2-4=0$

¿Qué puedo hacer después que no sea resolver la ecuación? Gracias.

Answer 1

$$x_1^6+x_2^6=(x_1^2+x_2^2)^3-3x_1^4x_2^2-3x_1^2x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^3-3(x_1x_2)^2(x_1^2+x_2^2)$$ Desde $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ Por lo tanto: $$x_1^6+x_2^6=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^3-3(x_1x_2)^2((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)$$ $$x_1^6+x_2^6=((\frac{5\sqrt{76}}{25})^2-2(\frac{15}{25}))^3-3(\frac{15}{25})^2((\frac{5\sqrt{76}}{25})^2-2(\frac{15}{25}))$$

---

Los valores de $x_1x_2,x_1+x_2$ provienen del siguiente argumento:

$$25(x-x_1)(x-x_2)=25x^2-25(x_1+x_2)x+25x_1x_2=25x^2-5\sqrt{76}+15$$

Ahora iguala los cocientes de ambos polinomios para obtener los valores de $x_1x_2,x_1+x_2$

Answer 2

Si dejas que $P_n=x_1^n+x_2^n$ entonces se obtiene (multiplicando la ecuación por $x^{n-2}$ y sustituto)

$$25x_1^n-5\sqrt{76}x_1^{n-1}+15x_1^{n-2}=0$$ $$25x_2^n-5\sqrt{76}x_2^{n-1}+15x_2^{n-2}=0$$

Ahora suma los dos para obtener la recurrencia: $$25P_n-5\sqrt{76}P_{n-1}+15P_{n-2}=0$$

$x_1+x_2$ puede leerse en la ecuación.

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ o puede utilizar $P_0=2$ para iniciar la recurrencia.

No sugiero que esta sea la forma más eficaz de resolver este problema en particular, pero a veces es bueno saberlo.

AÑADIDO en EDICIÓN en respuesta al comentario

Para añadir el $x_1$ y $x_2$ expresiones que tenemos $$25x_1^n-5\sqrt{76}x_1^{n-1}+15x_1^{n-2}+25x_2^n-5\sqrt{76}x_2^{n-1}+15x_2^{n-2}$$$$ =25(x_1^n+x_2^n)-5 \sqrt {76}(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})+15(x_1^{n-2}+x_2^{n-2}) $$$$=25P_n-5\sqrt{76}P_{n-1}+15P_{n-2}$$

Tenga en cuenta también que $P_0=x_1^0+x_2^0=1+1=2$ (si el término constante del polinomio fuera 0, tendrías el cero como raíz, que nunca aportaría nada a la suma, así que divides por la potencia más pequeña de $x$ para dar un término constante no nulo, y proceder con un polinomio de grado inferior)