Deje $A$ ser el arco del círculo unitario en el primer cuadrante,
es decir, la de un cuarto de círculo de arco entre el$(1,0)$$(0,1)$.
A continuación, la integración a lo largo del arco de usar $ds$ para denotar
la duración de la medida, la longitud del arco es
$$
\int_A ds = \frac\pi2.
$$
Ahora vamos a parametrizar el camino a lo largo del arco de alguna variable $t$
a través de un uno-a-uno de asignación continua $f$ del intervalo de $[0,1]$ a la
puntos en el arco con $f(0) = (1,0)$, por lo que
$$
\int_0^1 \frac{ds}{dt} \, dt = \int_A ds = \frac\pi2.
$$
Observe que con esta parametrización, $\frac{dx}{dt} \geq 0$
y $\frac{dy}{dt} \leq 0$ en todas partes en el arco.
En cualquier punto a lo largo del arco,
$\frac{ds}{dt}$ es la hipotenusa de un triángulo
con las piernas $\frac{dx}{dt}$$-\frac{dy}{dt}$.
Debido a que la dirección de la trayectoria en cada punto de $(x,y)$ es perpendicular
para el segmento de$(0,0)$$(x,y)$,
el triángulo con lados de $\frac{ds}{dt}$,
$\frac{dx}{dt}$, e $-\frac{dy}{dt}$
es similar a un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$ y las piernas $x$$y$.
Por lo tanto
$$
\frac{\frac{dx}{dt} - \frac{dy}{dt}}{x + y}
= \frac{\left(\frac{ds}{dt}\right)}{1} = \frac{ds}{dt}.
$$
Como $t$ pistas de $0$ a $1$, $x$ se ejecuta de $0$ $1$y
$y$ pistas de$1$$0$. Por lo tanto
\begin{align}
\int_0^1 \frac{dx}{x + y} + \int_0^1 \frac{dy}{x + y} &=
\int_0^1 \frac{dx}{x + y} - \int_1^0 \frac{dy}{x + y} \\
&= \int_0^1 \frac{\frac{dx}{dt}\,dt}{x + y}
- \int_0^1 \frac{\frac{dy}{dt}\,dt}{x + y} \\
&= \int_0^1 \frac{\frac{dx}{dt} - \frac{dy}{dt}}{x + y}\,dt \\
&= \int_0^1 \frac{ds}{dt}\,dt \\
&= \frac\pi2.
\end{align}
A continuación, puede utilizar la observación de que
$$\int_0^1 \frac{dx}{x + y} = \int_0^1 \frac{dy}{x + y}$$
a la conclusión de que la $$\int_0^1 \frac{dx}{x + y} = \frac\pi4.$$
El truco aquí, como en la parametrización $x=\cos\theta$,
$y=\sin\theta$, es que tienes que "coinciden" las mallas de
$dx$ $dy$ , de modo que usted puede agregar correctamente las juntas.
El trigonométricas sustitución de uno en concreto la asignación de
a partir de un parámetro de $\theta$ a la arc.
Pero no es necesario invocar a esa asignación determinada.
La asignación de $x = t$, $y = \sqrt{1 - t^2}$ también se trabaja, por ejemplo.
Actualización: La siguiente es una observación sobre la notación
inspirado por los comentarios.
La solución anterior se "viste" (o se puede decir "atontada")
para encajar con mi recuerdo de lo que un estudiante acostumbrado a
en el primer año de un curso de cálculo basado en el estándar de análisis.
El parámetro $t$ establece un sentido de integración a lo largo del arco
y mantiene los símbolos $dx$, $dy$, y $ds$ de tener a aparecer fuera de la habitual contextos como el de $\int (\text{something})\,dx$
o $\frac{dx}{d(\text{something})}$,
pero realmente no tiene otra razón de ser definido.
Dado un decente teoría de las diferencias o de infinitesimals,
de modo que podemos hablar de $ds$, $dx$, y $dy$ como objetos en sus propios derechos,
si orientamos el arco, de modo que $\int_A$ integra de $(0,1)$ $(1,0)$luego tenemos las relaciones de $ds : dx : -dy = 1 : y : x$ y puede escribir
\begin{align}
\frac{dx - dy}{x + y} &= \frac{ds}{1} = ds, \\
\int_0^1 \frac{dx}{x + y} + \int_0^1 \frac{dy}{x + y}
&= \int_0^1 \frac{dx}{x + y} - \int_1^0 \frac{dy}{x + y} \\
&= \int_A \frac{dx}{x + y} - \int_A \frac{dy}{x + y} \\
&= \int_A \frac{dx - dy}{x + y} \\
&= \int_A ds \\
&= \frac\pi2.
\end{align}
Este es un enfoque más intuitivo; o al menos, yo creo que es, ya que es
cómo llegué a la intuición sobre cómo configurar las integrales en primer lugar,
antes de añadir la parametrización.
Y ahora una tercera versión inspirada por comentarios adicionales!
Bajo la orientación de $ds$ a lo largo del trimestre arcos de círculo $A$
de$(1,0)$$(0,1)$, tenemos
$\frac{dx}{ds} = y$ $\frac{dy}{ds} = -x$ . Entonces
\begin{align}
\int_0^1 \frac{dx}{x + y} + \int_0^1 \frac{dy}{x + y}
&= \int_0^1 \frac{dx}{x + y} - \int_1^0 \frac{dy}{x + y} \\
&= \int_A \frac{dx/ds}{x + y}\,ds - \int_A \frac{dy/ds}{x + y}\,ds \\
&= \int_A \frac{y - (-x)}{x + y}\,ds \\
&= \int_A ds \\
&= \frac\pi2.
\end{align}
