algebraico grupo G vs pila algebraica BG

Question

He reunido que es "conocimiento común" (por lo menos entre la gente que piensa acerca de tales cosas) que el estudio de un (suave) algebraicas grupo G, como una expresión algebraica de grupo, es en cierto sentido la misma como el estudio de BG como una expresión algebraica de la pila. Puede alguien explicar por qué esto es cierto (y hasta qué punto es cierto)? Puedo llegar tan lejos como ver que cuasi coherente poleas en BG son las mismas que las representaciones de G, pero se siente como que hay más a él.

En particular, Scott Carnahan ha mencionado aquí que las deformaciones de BG como una expresión algebraica de la pila debe corresponder exactamente a las deformaciones de G como una expresión algebraica de grupo. Supongo que esto significa que cualquier deformación de BG debe ser de la forma BG', donde G' es una deformación de G (como un grupo). Para mí es claro que tal BG " es una deformación, pero ¿por qué estos son sólo deformaciones?

Answer 1

La pila de BG sólo recupera G hasta automorphisms internos, no canónico (según lo sugerido por bla) - esto puede conducir a graves problemas en las familias o equivalente sobre un campo nonalgebraically cerrado, como comentario señala de ahora. Una manera de decir esto es la siguiente: los lazos de BG son G/G, el cociente del adjoint de G. Por otro lado, si le das un mapa pt--> G luego el bucle basado en espacio (producto de la fibra del pt con sí mismo sobre BG) es G, para recuperar el grupo canónicamente.

Answer 2

lo que espero es que el grupo G es básicamente lo mismo que la pila señaló BG, donde señalas por el G-paquete trivial.

Answer 3

Si G es un grupo esquema sobre k (algebraico cerrado), entonces déjame que te hable a través de cómo obtener G espalda mirando la pila de BG. Los k puntos de BG (que es un groupoid) consisten en un punto cuya automorfismos son los k puntos de G. La retirada de este punto a las Especificaciones de Un para cualquier k-álgebra a tiene automorfismos dada por los puntos de G. Si usted piensa de BG puntos como director haces, estoy diciendo que el automorphsims de la trivial paquete en la Especificación de Una son los puntos del grupo.

Entonces, ¿qué sucede si usted se deforman BG? Usted todavía tiene este punto en concreto, no se puede deformar que a nada, así que usted sólo puede cambiar su morfismos. Esa es su G' (se obtiene una expresión algebraica de grupo ya que se puede pullback a todas las Especificaciones del). Cómo se puede ver BG' es un poco más complicado, así que tal vez debería dejar a un real algebraicas aparejador, pero creo que la idea es que el BG se distingue por ser el sheafication de la trivial paquetes en la suave/fppf topología, y esto no va a cambiar cuando se deforman.

Answer 4

Hola Ben,

un pequeño comentario: cuando dices "G es un grupo esquema sobre k", te refieres a k es un separadamente campo cerrado, a la derecha? Porque de lo contrario el groupoid BG(k) no puede tener sólo un isomorfismo de la clase de objeto; el conjunto de isom clases es el Galois cohomology H^1(k,G). También me confundí por "la retirada de este punto". Creo que uno debe deformar BG a lo largo de la nilpotent la incrustación de Spec k --> Spec A, en lugar de considerar Especificación --> Spec k...

El mapa estructural BG --> Spec k tiene una sección Spec k --> BG. Así que tal vez uno puede deformar BG --> Spec k junto con esta sección, por lo que cualquier gerbe vuelve trivial.