$\alpha\wedge\beta = 0$ % todo $\beta$implica $\alpha = 0$ sin usar el dual de Hodge

Question

Que $\alpha$ ser una forma diferencial $k$ un % lisa orientable $n$-múltiple dimensional. Si $\alpha\wedge\beta = 0$ para cada diferencial $(n - k)$-forma $\beta$, entonces el $\alpha = 0$ porque podemos elegir una métrica de Riemann desde la cual podemos construir el correspondiente % dual de Hodge $\ast$y obtener $0 = \alpha\wedge\ast\alpha = \|\alpha\|^2dV$.

¿Podemos deducir que $\alpha = 0$ sin elegir una métrica y teniendo en cuenta el Hodge dual?

Answer 1

Se trata de pointwise. Elegir una base de la 1-formas $\omega_1, \ldots, \omega_n.$Let $I$ denotar cualquier subconjunto de elementos de $\{1,2,\ldots,n \}$$k$con %. que $$ \omega_I = \omega_{i_1} \wedge \cdots \wedge \omega_{i_k}. $$ Meanwhile, let $ I' $ denote the subset consisting of the other $n-k $ indices, that is $% $ $ I \cap I' = \{ \}, \; \; I \cup I' = \{1,2,\ldots,n \}. $por qué no, que %#% $ de #% obtenemos $$ \Omega = \omega_{1} \wedge \cdots \wedge \omega_{n}. $ $ pero si $$ \omega_I \wedge \omega_{I'} = \pm \Omega, $ y $I \neq J,$ y así $I \cap J' \neq \{ \},$ $

Su $$ I \neq J \Longrightarrow \omega_I \wedge \omega_{J'} = 0. $ es un $\alpha$-forma, coeficiente de tan $k$$$ \alpha = \sum_{I} a_I \omega_I $a_I.$ with real numbers $J,$ As result, given any fixed $J$ con $ we are just picking out the $$$ \alpha \wedge \omega_{J'} = \; \pm \, a_{J} \; \Omega. $(n-k)$ Your hypothesis that any $\beta$ form $\alpha \wedge \beta = 0$ gives $\beta = \omega_{J'}.$ can be applied with $a_J =0$ So the conclusion is that all the coefficients $\alpha = 0.$

Answer 2

Veo, usted no especifica 1-formas. Déjame que escriba esto, tal vez usted puede decidir el estado de la discusión para otro $p$-formas.

Este es Cartan del Lema, que es de aproximadamente 1-formas. En un suave colector (o pequeño barrio en uno) de dimensión $n,$ deje $p \leq n.$ Deje $\omega_1, \ldots, \omega_p$ 1-formas que son (pointwise) linealmente independientes. A continuación, vamos a t $\theta_1, \ldots, \theta_p$ 1-formas tales que $$ \sum_{i=1}^p \theta_i \wedge \omega_i = 0. $$ Luego están las funciones lisas $A_{ij} = A_{ji}$ tal que $$ \forall i \leq p, \; \; \; \theta_i = \sum_{j=1}^p A_{ij} \omega_j \; \; . $$

Así, extender su 1-formulario de $\alpha$ a una completa base $\omega_1, \ldots, \omega_{n-1}, \omega_n = \alpha.$ Usted está diciendo que todas las cuñas son cero, por lo que $$ \sum_{i=1}^{n-1} \alpha \wedge \omega_i = 0. $$ $$ \alpha = \sum_{j=1}^{n-1} A_{ij} \omega_j \; \; . $$ Sin embargo, $\omega_n = \alpha$ es parte de la base, a la cual se oponen, por lo que esto se contradice con la capacidad para formar una base y la suposición de que $\alpha \neq 0.$