Primero extender $J$ complejo de forma lineal, de modo que éstos se encuentran definidos en $TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$. Tenga en cuenta que $TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ se descompone como suma directa de dos subespacios propios de a $J$, es decir,$T^{1, 0}M$$T^{0,1}M$, con autovalores $i$ $-i$ respectivamente.
También la ampliación de la métrica y $\nabla$ complejo linealmente, $A$ se convierte en una verdadera tres formulario en $TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$. Como tal, puede ser escrito como de forma exclusiva
$$A = A^{3,0} + A^{2, 1} + A^{1, 2} + A^{0, 3}$$
donde $A^{p, q}$ $(p, q)$- forma. De hecho, como $A$ es una forma real tenemos $A^{2,1} = \overline{A^{1,2}}$$A^{3,0} = \overline{A^{0,3}}$.
Nota, la identidad de $A(JX, JY, Z) = -A(X, Y, Z)$ se mantiene cuando se $A$ se considera como una forma de $TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$. Además, como $J$ conserva sus subespacios propios, vemos que la identidad es verdadera en el $(p, q)$ nivel; es decir,$A^{p,q}(JX, JY, Z) = -A^{p,q}(X, Y, Z)$.
Vamos a necesitar uno más de la identidad. Como $-Y = J^2Y$, tenemos
\begin{align*}
-\nabla_XY &= \nabla_X(J^2Y)\\
&= (\nabla_XJ)(JY) + J(\nabla_X(JY))\\
&= (\nabla_XJ)(JY) + J((\nabla_XJ)Y + J(\nabla_XY))\\
&= (\nabla_XJ)(JY) + J((\nabla_XJ)Y) -\nabla_XY
\end{align*}
por lo $(\nabla_XJ)(JY) = -J((\nabla_XJ)Y)$, es decir, $\nabla_XJ$ $J$- antilinear. Como tal, hemos
\begin{align*}
A(X, Y, JZ) &= \langle(\nabla_XJ)Y, JZ\rangle\\
&= \langle J((\nabla_XJ)Y), J^2Z\rangle\\
&= \langle J((\nabla_XJ)Y), -Z\rangle\\
&= \langle -J((\nabla_XJ)Y), Z\rangle\\
&= \langle (\nabla_XJ)(JY), Z\rangle\\
&= A(X, JY, Z).
\end{align*}
Como antes, esto es en el $(p, q)$ nivel.
Por un lado, tenemos a $A^{1,2}(JX, JY, JZ) = -iA^{1,2}(X, Y, Z)$, pero también tenemos $A^{1,2}(JX, JY, JZ) = -A^{1,2}(X, Y, JZ)$.
Si $X \in \Gamma(M, T^{1,0}M)$, $Y, Z \in \Gamma(M, T^{0,1}M)$, entonces
$$-A^{1,2}(X, Y, JZ) = -A^{1,2}(X, Y, -iZ) = iA^{1,2}(X, Y, Z).$$
Del mismo modo, si $Y \in \Gamma(M, T^{1,0}M)$$X, Z \in \Gamma(M, T^{0,1}M)$.
Si $Z \in \Gamma(M, T^{1,0}M)$, $X, Y \in \Gamma(M, T^{0,1}M)$, entonces
$$-A^{1,2}(X, Y, JZ) = -A^{1,2}(X, JY, Z) = -A^{1,2}(X, -iY, Z) = iA^{1,2}(X, Y, Z).$$
Así que para cualquier vector de campos $X, Y, Z$, $-A^{1,2}(X, Y, JZ) = iA^{1,2}(X, Y, Z)$.
Como $A^{1,2}(JX, JY, JZ) = -iA^{1,2}(X, Y, Z)$$A^{1,2}(JX, JY, JZ) = iA^{1,2}(X, Y, Z)$, podemos ver que $A^{1,2} = 0$ y, por tanto,$A^{2,1} = \overline{A^{1,2}} = 0$.
Por lo tanto, $A$ es de tipo $(3, 0) + (0, 3)$.
