10 ceros, 9 unos y 8 parejas se escriben en el tablero. ¿Habida cuenta de las operaciones, puede establecer todos los números para convertirse en cero?

Question

Se permite reemplazar los 0 y 1 con dos 2, 0 y 2 con dos 1s, o uno y dos por dos ceros.
Mi pensamiento era que tenías que fijar todos los números 1 y 2. Sin embargo, esto no es posible puesto que hay un número impar de números y cada operación modifica dos.

Answer 1

Sugerencia: Considerar el valor total modulo $3$ de la configuración inicial y la configuración final. Para cada movimiento, ¿qué es el efecto de que se mueven sobre el valor total modulo $3$ de la configuración?

Answer 2

El modulo 3 respuesta es muy buena. He aquí una solución geométrica:

Estas operaciones pueden ser interpretadas como se mueve en un espacio tridimensional. Deje $x$ el número de $0$s, $y$ el número de $1$s y $z$ el número de $2$s. Comenzamos al $\vec{r} = (x,y,z) = (10,9,8)$. La operación "$0$ $1$ se convierte en $2$ $2$" puede ser interpretado como la adición de $\vec{u}=(-1,-1,2)$ a la posición actual. Del mismo modo, "$0$ $2$ se convierte en $1$ $1$" y "$1$ $2$ se convierte en $0$ $0$" puede ser interpretado como la adición de $\vec{v} = (-1,2,-1)$ o $\vec{w}=(2,-1,-1)$, respectivamente, de la posición actual.

Una solución a este problema consistiría en tres enteros no negativos $a$, $b$, y $c$ tal que $$ (10,9,8)+\, \vec{u} + b\, \vec{v} + c\, \vec{w} = (27, 0, 0)\, . $$ Tomando el $y$ $z$ componentes de esta expresión se obtiene: \begin{align} 9 - a + 2b - c &= 0\\ 8 + 2a - b - c &= 0 \end{align} Restando la segunda de estas a partir de los primeros resultados en $$ 3(a-b)=1\, , $$ que no tiene solución en los números enteros $a$$b$. Así, no hay ninguna solución para el problema original.