Descomposición del producto de productos exteriores

Question

Supongamos que es de $V$ $n$-dimensional espacio del vector.

Qué es el núcleo de

$$\bigwedge^p V \otimes \bigwedge^q V\longrightarrow \bigwedge^{p+q} V$$

aquí $p+q \le n$.

Answer 1

No sé cómo describir el núcleo de todo, pero yo no sé cómo describir los generadores del kernel.

Recordemos que $e_1\wedge e_2\dots\wedge e_k=0$ si y sólo si $\{e_1,\dots,e_k\}$ es un conjunto de vectores linealmente dependiente. Además, si $\{e_1,\dots e_k\}$ $\{e'_1,\dots,e'_k\}$ son bases para el mismo subespacio, entonces $e_1\wedge e_2\dots\wedge e_k$ $e'_1\wedge e'_2\dots\wedge e_k'$ son múltiplos escalares de cada uno de los otros (de hecho, el coeficiente por el cual se multiplica el primero para obtener el último es precisamente el determinante de la lineal mapa de los subespacios que envía a $e_i\to e'_i$).

Lo anterior implica que se puede pensar de los generadores de $\bigwedge^k V$ $k$- dimensiones de los subespacios de $V$. Por lo tanto, los generadores de $\bigwedge^p V\otimes\bigwedge^q V$ pueden ser entendidas como emparejamientos de un $p$ - $q$- dimensiones de los subespacios, y el mapa de a $\bigwedge^{p+q} V$ es un mapa de emparejamientos de $p$ - $q$- dimensiones de los subespacios a $p+q$-dimensiones de los subespacios, que toma la suma directa de la pareja. Por lo tanto, el núcleo de la mapa es generado por los emparejamientos de $p$ - $q$- dimensiones de los subespacios, cuya suma directa no es $p+q$-dimensional, o, en otras palabras, el núcleo es generado por los emparejamientos de subespacios no triviales de la intersección.

Answer 2

Este es un comentario largo en lugar de una respuesta completa. [Actualizado con una respuesta completa a continuación.]

$\wedge^k V$ es un simple ejemplo de Schur functor. Para poder conocer la clasificación de las representaciones irreducibles del grupo simétrico en términos de particiones. Es decir, dada una partición de $\lambda=(\lambda_1,\cdots,\lambda_k)$ donde $\lambda_1\geq \lambda_2\cdots\geq\lambda_k\geq 1$ donde $\sum \lambda_i=n$, es asociada a una representación irreducible del grupo simétrico $\Sigma_n$ denotado $F_\lambda$. Ahora $\mathbb S_\lambda$ denota un functor llamado Schur functor definidas sobre espacios vectoriales mediante la fórmula $\mathbb S_\lambda (V)= F_\lambda\otimes_{\Sigma_n}V^{\otimes n}$. Hay buena fórmulas para el cálculo de la dimensión de estos espacios vectoriales. También se $\mathbb S_{(1,\ldots,1)}(V)=\wedge^n(V)$ $\mathbb S_{n}(V)$ es la simétrica de potencia $S^n(V)$. Es un hecho fundamental de que cualquier functor en espacios vectoriales se descompone como suma directa de Schur functors, por lo que definitivamente podemos decir que el $\wedge^p V\otimes\wedge^q V$ se descompone como suma directa de tales functors, asociados a las particiones e incluso se puede mostrar que las particiones tienen que ser de $p+q$. Buscando en el núcleo de el mapa que dio corresponderá a caer una copia de $\mathbb S_{(1,\ldots,1)}(V)$ a partir de la descomposición. Para cualquier $i$ $j$ puede utilizar la dimensión de las fórmulas para calcular exactamente lo que la descomposición es, pero no estoy seguro de si hay una fórmula general para el resultado, ya que yo no soy un experto en esta materia.

Así, por ejemplo, cuando $p=q=1$, $V\otimes V=S^2V\oplus \wedge^2 V$ de modo que el núcleo es isomorfo a $S^2V$. Un ejemplo más complejo es $p=q=2$. Según mis cálculos $$(\wedge^2 V)\otimes(\wedge^2 V)\cong \wedge^4 V\oplus \mathbb S_{(2,2)}(V)\oplus \mathbb S_{(2,1,1)}(V),$$ para que el núcleo es isomorfo a $\mathbb S_{(2,2)}(V)\oplus \mathbb S_{(2,1,1)}(V)$.

Actualización(julio de 2012): dije que yo no era un experto en esto pero estoy aprendiendo! En general, las necesidades de la Littlewood-Richardson regla para descomponer un producto de Schur functors. Esto probablemente no es el mejor lugar para exponer sobre cómo funciona esta regla. Wikipedia tiene una confusa explicación. He aprendido de Fulton y de Harris texto clásico sobre la teoría de la representación. El caso es $\mathbb S_{(1^p)}(V)\otimes \mathbb S_{(1^q)}(V)$, y el Littlewood-Richardson regla da un isomorfismo $$\mathbb S_{(1^p)}(V)\otimes \mathbb S_{(1^q)}(V)\cong \bigoplus_{n=0}^{\min\{p,q\}} \mathbb S_{(2^n,1^{p+q-n})}(V).$$ The OP's map is surjective, so the kernel eliminates the $\cuña^{p+q}V=\mathbb S_{(1^{p+q})}(V)$ sumando directo. Así que tenemos una respuesta completa: $$\ker(\wedge^pV\otimes\wedge^qV\to \wedge^{p+q}V)\cong \bigoplus_{n=1}^{\min\{p,q\}} \mathbb S_{(2^n,1^{p+q-n})}(V).$$