Qué significa esta notación: $\mathbb{Z}_2$

Question

$\mathbb Z$ (Nuestra notación habitual para los enteros) con un poco de subíndice en la parte inferior.

Esta es la pregunta que se formula:

¿cuáles son los subgrupos de orden $4$ de $\mathbb Z_2 \times\mathbb Z_4$ ($\mathbb Z_2$ cruz $\mathbb Z_4$)

La de ellos y los conjuntos de la identidad del grupo de orden 4 que cada uno de los subgrupos es isomorfo a

Yo estaba pensando que significaba el conjunto de los enteros modulo $4$ y el modulo $2$, pero no estoy muy seguro

La de ellos y los conjuntos de la identidad del grupo de orden $4$ que cada uno de los subgrupos es isomorfo a

¿Cuál es la definición de "orden". Yo realmente no podía encontrar en ningún lugar.

Answer 1

En el contexto anteriormente, $\mathbb{Z}_n=\{0,1,\ldots, n-1\}$, donde $n\in\mathbb{N}$.

Este es el grupo de enteros módulo $n$. (Es un grupo bajo adición modulo $n$.)

Así $\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$, el grupo de enteros módulo $2$.

El orden de un grupo es su cardinalidad.

(En caso de que usted está interesado, que la orden de un elemento de un grupo es la más pequeña $n\in\mathbb{N}:a^n=e$, donde $e$ la identidad y $a$ es un elemento del grupo. Si no existe ningún tal $n$, entonces $a$ se dice que tiene orden infinito.)

Answer 2

Hay cierta ambigüedad aquí. Mi texto, Dummit y Foote, insiste en que $\mathbb Z_p$ es el Grupo cíclico de orden p, no el anillo de números enteros modp. En este sitio, más a menudo, $\mathbb Z_p$ se refiere al anillo de números enteros modp y $C_p$ es el símbolo típico del Grupo cíclico de orden p. Si sabes, como en este caso, que se trata de un grupo en lugar de un anillo, el significado es claro.