Ecuación diferencial en un múltiple

Question

Quiero resolver este problema:

M es un colector. Sea$t\mapsto \gamma(t)$ una curva integral de un campo vectorial X en M. Supongamos que existe$t_0$ tal que$\gamma'(t_0)=0$. Demuestre que$\gamma(t)=\gamma(t_0)$ para todos los t.

Sé que tenemos$X(\gamma(t))=\gamma'(t)$ y que tenemos que usar la singularidad de una solución, pero tengo algunas dificultades para escribir una solución "técnica". Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Si una curva integral de un vector campo $t \mapsto \gamma(t)$ en un colector $X$ $M$ e imponemos la inicial condiciones $$\begin{cases} \gamma(t_0) = p,\\ \gamma'(t_0) = 0, \end{casos} $$ % tiempo $t_0$, entonces por definición $$ X(\gamma(t_0)) = \gamma'(t_0) = 0. $$ Que es, $X(p) = 0$. Así, $t \mapsto \zeta(t) \equiv p$ también es una curva integral de $X$satisfacción $\zeta(t_0) = p =\gamma(t_0)$. Por unicidad de la curva integral de $X$ pasando por $p$ a la vez $t_0$, concluimos que el $\gamma(t) = \zeta(t) \equiv p $ $t$ de todos los tiempos.