Cero suma de raíces de la descomposición de la unidad

Question

Se sabe que la suma de todos los $n$'th raíces de algunos $z \in \mathbb C$ $|z| = 1$ es cero (si $n \geqslant 2$).

Es cierto que cualquier suma cero de las raíces de la unidad puede ser descompuesto en este camino? Es que si vamos a tener $\zeta_1 + \ldots + \zeta_s = 0,$ donde$\zeta_i^n = 1,$, entonces podemos partición en grupos $\{\xi_1, \ldots, \xi_k\}$ de todos los $k$'th raíces de algunos $z$ $|z| = 1$ (con cero la suma de los elementos de este grupo), posiblemente con diferentes $k$ para los diferentes grupos?

UPD

Ejemplo: si $\zeta_1 + \zeta_2 = 0,$ $\zeta_1^2 = \zeta_2^2 = z,$ $\zeta_1, \zeta_2$ son las raíces cuadradas de los esta $z.$ no Es difícil mostrar que si $\zeta_1 + \zeta_2 + \zeta_3 = 0,$ $\zeta_1^3 = \zeta_2^3 = \zeta_3^3 = z,$ $\zeta_1, \zeta_2, \zeta_3$ son cúbicos raíces de algunos $z$.

Si $\zeta_1 + \zeta_2 + \zeta_3 + \zeta_4 = 0,$ parece que hay dos posibilidades - como $\{1, i, -1, -i\}$ (una parte), o como $\{e^{\pi i/3}, e^{4\pi i/3}\}, \{e^{2\pi i/3},e^{10\pi i/3}\}.$ Pero no sé qué es la argumentación para el caso general.

Answer 1

No, por ejemplo, pick $\zeta = \exp \frac{i\pi}{15}$, un primitivo $30$th raíz de la unidad.

$0 = (1 + \zeta^{10} + \zeta^{20}) + \zeta^{15}(1 + \zeta^6 + \zeta^{12} + \zeta^{18} + \zeta^{24}) - (1 + \zeta^{15}) \\ = \zeta^3 + \zeta^9 + \zeta^{10} + \zeta^{20} + \zeta^{21} + \zeta^{27}$

Pero usted no puede partición de los $6$ raíces en los vértices de regular $k$-ágonos.

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Sin embargo, es cierto que siempre se puede añadir vértices de regular $k$-ágonos a su sistema de raíces (posiblemente la adición de la misma raíz varias veces) para obtener un nuevo conjunto múltiple que puede organizar en una suma de los vértices de regular $k$-ágonos (posiblemente usando el mismo $k$-gon varias veces).

Deje $\zeta_n = \exp{\frac{2i\pi}n}$ $f$ ser el mapa de $\Bbb Z^n \to \Bbb Z[\zeta_n]$$(a_i) \mapsto \sum a_i \zeta_n^i$.
El polinomio mínimo de a $\zeta_n$ $\Bbb Q$ es el cyclotomic polinomio $\Phi_n$, de grado $\varphi(n)$. Por lo tanto $\Bbb Z[\zeta_n]$ es libre de rango $\varphi(n)$.

Si $n = \prod p_i^{d_i}$, $\zeta$ es una primitiva $n$th raíz de la unidad iff es de orden exactamente $n$, y no $n/p$ cualquier $p$, iff $\zeta^{n/p}$ es una primitiva $p$th raíz, para todos los $p$. Por lo tanto $\Phi_n$ es el mcd de los $\Phi_p(X^{n/p}) = 1 + X^{n/p} + X^{2n/p} + \ldots + X^{(p-1)n/p}$, e $\ker f$ es generado por las relaciones que corresponden a los vértices de regular $p$-ágonos.