¿Existe una definición formal de variable macroscópica en mecánica estadística?

Question

Intuitivamente es fácil aceptar que las variables habituales como la temperatura, la energía interna, etc. son "macroscópicas", pero ¿existe una definición formal de variable macroscópica?

En otras palabras, ¿existe una forma clara de separar el conjunto de todos los observables (y funciones de observables) de un sistema en los que describiríamos como "macroscópicos" y los que no?

EDIT: Dado que aparentemente la respuesta no es del todo sencilla, me interesa conocer cualquier definición que haya aparecido en la literatura, aunque sólo sean convenciones. También estoy interesado en cualquier condición necesaria o suficiente.

Answer 1

Permítanme centrarme en el contexto de la física estadística rigurosa del equilibrio (véase, por ejemplo, el libro de Georgii "Gibbs Measures and Phase Transitions"). Allí se trabaja con medidas de probabilidad en sistemas infinitos, a menudo en un enrejado; permítanme suponer que es $\mathbb{Z}^d$ . En este contexto, un observable macroscópico se define como una función $O:\Omega\to\mathbb{R}$ (donde $\Omega$ es el conjunto de todas las configuraciones $(\omega_i)_{i\in\mathbb{Z}^d}$ ) que no depende de los valores de ningún conjunto finito de espines $\omega_i$ (técnicamente, se dice que tal observable es medible con respecto a la cola $\sigma$ -campo).

Permítanme darles algunos ejemplos de tales observables, en el caso simple de sistemas de tipo Ising, es decir, con $\Omega=\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^d}$ . Sea $\sigma_i$ denotan el espín en $i$ , $\sigma_i(\omega)=\omega_i$ .

$\circ$ Promedios de observables locales, por ejemplo, $$ \lim_{\Lambda\uparrow\mathbb{Z}^d} \frac1{|\Lambda|}\sum_{i\in\Lambda} \sigma_i\;. $$ $\circ$ Sucesos como "No hay infinitas componentes conectadas de $-1$ -spins".

En ambos casos, cambiar un finito número de giros no modifica el valor del observable $O$ .

Una cosa buena de esta definición es que se puede demostrar de forma muy general que tales observables toman valores deterministas (es decir, son casi seguramente constantes) con respecto a cualquier fase pura (medida extrema de Gibbs). En otras palabras, no fluctúan (recuérdese que se trata de sistemas infinitos).

Answer 2

Es difícil dar una definición precisa porque hasta cierto punto estos términos son cuestión de convención. Un buen punto de partida, aunque no del todo correcto, es pensar que una variable macroscópica es tal que, si se conoce su valor (es decir, si se ha medido), la entropía del sistema puede seguir siendo distinta de cero. Para los sistemas cuánticos, se trata de la entropía de von Neumann, mientras que para los sistemas clásicos es la entropía habitual de Gibbs-Shannon. Una variable microscópica es aquella para la que esto no es así: conocer su valor determina completamente el estado del sistema en el caso clásico, o pone al sistema en un estado puro en el caso cuántico.

Parece una buena definición porque la mecánica estadística trata de los casos en los que los detalles microscópicos son desconocidos y tienen que representarse con una distribución de probabilidad o una matriz de densidad, y esta definición parece captar exactamente esos casos.

Obsérvese que esta definición de "macroscópico" incluye los valores de expectativa de las variables microscópicas, ya que el mero conocimiento de la expectativa sobre un conjunto sigue dejando cierta incertidumbre sobre el valor preciso de la variable microscópica. Las variables macroscópicas "extensivas" de la termodinámica ( $U$ , $V$ etc.) son de este tipo.

Sin embargo, la razón por la que esto no es del todo correcto es que en el caso de que exista cierta degeneración en los niveles de energía, conocer el valor preciso de la energía puede seguir dejando una entropía de von Neumann distinta de cero. Pero la energía se considera generalmente una variable microscópica incluso en este caso. Una mejora de esta definición podría consistir en decir que a conjunto de expansión (término mío) de variables microscópicas es una tal que (a) pueden medirse simultáneamente (es decir, se miden mediante operadores de proyección ortogonales), y (b) conocer los valores de todas ellas deja una entropía de von Neumann nula. Así, por ejemplo, conocer tanto la energía como el momento angular de un electrón en órbita podría determinar completamente la función de onda, y por tanto serían un conjunto que abarca, aunque cada uno por sí solo no lo fuera. La cuestión entonces no sería si una sola variable es microscópica o macroscópica, sino si un conjunto dado de variables es un conjunto que abarca o no. A mí me parece el planteamiento correcto, pero no sé si alguien lo ha descrito formalmente. (Me interesaría saber si alguien lo ha hecho).