Cohomological dimensión de un grupo

Question

1. ¿Qué es una explicación intuitiva y directa de la dimensión cohomológica de un grupo?

2. ¿Cómo se calcula la dimensión cohomológica de un grupo?

3. ¿Hay una buena referencia que explica este concepto y proporciona ejemplos?

Estoy particularmente interesado en la dimensión cohomológica del grupo trenzado$\mathcal{B}_n$ y algunos de sus subgrupos.

Answer 1

Recordemos que el grupo de cohomology de $G$ son sólo cohomology de espacio topológico $BG$ (en general, con los coeficientes que en algunos locales del sistema). En particular, si hay un modelo de $BG$ $n$- dimensiones de CW-complejos, cohomological dimensión de $G$$\le n$.

Ahora, hay un muy buen modelo para $BB_n$: el espacio de la $n$ (indistinguible distintos puntos de $\mathbb C$. Vieta mapa de identificar este espacio con $\mathbb C^n\setminus\Delta$ (donde $\Delta$ es algún tipo de discriminante subconjunto). En particular, cohomological dimensión de $B_n$ $\le 2n-1$ (oh... creo que la respuesta es, en realidad, más como $n$). Canónica de la referencia aquí es la de Arnold "En algunos invariantes topológicos de funciones algebraicas", AFAIR.

Answer 2

Una de las razones para la atención acerca de la cohomological dimensión de un grupo proviene de etale cohomology, porque etale cohomology más de un campo es la misma cosa como Galois cohomology. (Es decir, si $k$ es un campo, etale poleas en $\operatorname{Spec} k$ son la misma cosa, ya que los continuos discretos $G$-juegos para $G$ el grupo de Galois de la separables de cierre, y cohomology de un abelian gavilla es (profinite) grupo cohomology.) Como resultado, si uno quiere probar teoremas de fuga en etale cohomology (el más importante de los cuales afirma que para que una variedad de dimensión $n$ más de una algebraicamente cerrado de campo, el cohomology grupos de cualquier torsión gavilla se desvanecen en grados $>2n$) del básico el caso de que uno es a menudo reducido es el de un campo. Por lo tanto, es necesario encontrar los límites para la cohomological dimensión de los grupos de Galois.

(En adelante, yo estoy usando la definición de cohomological dimensión de torsión módulos.)

Realmente para calcular esto, se puede utilizar el siguiente hecho: $G$ ha cohomological dimensión $\le n$ si y sólo si, para cada una de las $p$, hay un $p$-subgrupo de Sylow $G_p \subset G$ tal que $H^{n+1}(G_p, \mathbb{Z}/p) = 0$. La justificación es que cualquier finitely generadas $p$-torsión $G_p$-módulo tiene un número finito de filtración con cocientes isomorfo a $\mathbb{Z}/p$, y después de que uno puede utilizar la restricción y la inflación para obtener el resultado de $G$. En la práctica, una forma de mostrar a la desaparición de estos grupos es el uso de ciertas secuencias exactas, por ejemplo

$$0 \to \mathbb{Z}/p \to k^{sep* } \to k^{sep *} \to 0$$

donde el último mapa es elevar a la $p$th poder. (Al $p$ es la característica, este debe ser reemplazado por $a \mapsto a^p -a $ y utiliza el aditivo grupo). Puesto que hay muchos teoremas sobre la cohomology de $k^{sep*}$ (palabras clave: grupo de Brauer, Tate teorema de Hilbert teorema de los 90) y que de $k_{sep}$ (esto es realmente trivial por el teorema de la base), a menudo se puede utilizar para obtener resultados acerca de cohomological dimensión.

Un muy divertido de referencia para la delimitación cohomological dimensión (pero sin mencionar la etale cohomology) es Serre del libro "Galois cohomology."