Mostrar la desigualdad $\frac{|f^{'}(z)|}{1-|f(z)|^{2}} \leq \frac{1}{1-|z|^{2}}$

Question

Estoy tratando de mostrar si $|f(z)| \leq 1$ , $|z| \leq 1$ entonces \begin{equation} \frac{|f^{'}(z)|}{1-|f(z)|^{2}} \leq \frac{1}{1-|z|^{2}} \end{equation} . He utilizado la desigualdad de Cauchy para derivar $|f^{'}(z)| \leq \frac{1}{1-|z|}$ Sin embargo, todavía no he podido obtener el resultado que necesito.

También estoy tratando de encontrar cuando la igualdad se mantendría. Cualquier consejo o ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Esa es la Teorema de Schwarz-Pick . La página de la wikipedia contiene una prueba.