Soluciones de enteros a$y^{2} = 2x^{2} +15x$.

Question

$x,y \in \mathbb{N}$ Y$x,y \neq 0$.

Esta ecuación surgió en la tarea de mi amigo y es bastante doozy. Solo se supone que debe encontrar dos posibles soluciones, pero tuvimos que arrancar Mathematica para encontrar alguna ($x = 60$ y$2160$). Me preguntaba si había algo que nos faltaba, porque esto no parece accesible con ninguna de las técnicas de resolución Diophantine que encontramos en línea (por ejemplo, la ecuación de Pell, etc).

Answer 1

Estás buscando un$x$ tal que$2x^2+15x = x(2x+15)$ es un cuadrado perfecto.

Ahora,$\gcd(x, 2x+15) = \gcd(x,15)$, y modulo de trabajo$3$ y$5$ uno verifica rápidamente que$x$ debe ser$0$ modulo$15$. Así que tenemos$x=15m$$$ (15m)(30m+15) $ $ is a perfect square, where $ #% 2k ^ 2 1 $ es un cuadrado perfecto.

A partir de aquí, los ensayos y errores pueden establecer relativamente rápidamente que$ are the only prime factors in common between the two factors. Thus $ y$ is itself a perfect square; so set $ producen soluciones.

Answer 2

Tenga en cuenta que $y^2=2x^2+15x$ es equivalente a $8y^2=(4x+15)^2-225$. Escribir $z=4x+15, 2y=w$. Entonces obtenemos la ecuación de $225= 3^2\cdot 5^2=z^2-2w^2$, por lo que podemos trabajar en la UFD $R=\mathbb{Z}[\sqrt2]$. La unidad fundamental es $u=1+\sqrt2$ norma $-1$. También encontramos que la $3$ $5$ son inertes en este anillo. Entonces si $\alpha=\pm3\cdot 5(1+\sqrt2)^{2k}$$k\in\mathbb{Z}$,$\alpha\tilde\alpha=225$. Así: $$z=\pm\frac{\alpha+\tilde\alpha}{2}=\pm\frac{3\cdot5}{2}((1+\sqrt2)^{2k}+(1-\sqrt2)^{2k})$$ $$w=\pm\frac{\alpha-\tilde\alpha}{2}=\pm\frac{3\cdot5}{2\sqrt2}((1+\sqrt2)^{2k}-(1-\sqrt2)^{2k})$$ Ahora necesitamos encontrar al $w\equiv 0 \mod 2R$.

Pero $(1+\sqrt2)^{2k}=(3+2\sqrt2)^k=(3+sign(k)\cdot 2\sqrt2)^{|k|}\equiv1\mod 2R$ , lo $w$ es siempre divisible por $2$.

También tenemos que encontrar al $z-15\equiv 0 \pmod4\iff(3+2\sqrt2)^k+(3-2\sqrt2)^k\equiv 2 \pmod8$ $\iff\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(2\sqrt2)^i3^{k-i}+\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^i(2\sqrt2)^i3^{k-i}\equiv 2\pmod8$

$$\iff2\sum_{i=0\\i \;even}^k\binom{k}{i}(2\sqrt2)^i3^{k-i}\equiv 2\pmod8$$

Todavía no he encontrado la forma exacta de calcular, pero suponemos que para $k$ incluso, podemos obtener infinitas soluciones a esta ecuación, y deben de ser todas las soluciones.

Esto daría para $u=1+\sqrt2$$m\in\mathbb{Z}$: $$x=\pm \frac{3\cdot5}{8}(u^{4m}+\tilde u^{4m})-\frac{15}{4}$$ $$y=\pm \frac{3\cdot5}{4\sqrt2}(u^{4m}-\tilde u^{4m})$$