Yo mismo la pura categoría de teoría por su propio bien, bastante difícil de tragar, y preferimos pensar que con ejemplos reales de su uso. Así que, permítanme darles algunos ejemplos (histórico) de cómo la abstracción de la categoría de la teoría dado lugar a importantes avances matemáticos.
Existe la teoría de etale cohomology. Etale cohomology es una variante de la norma gavilla cohomology uno se encuentra en la geometría algebraica de los cursos.* El punto de partida es una categoría de observación: la gavilla axiomas son, fundamentalmente, functorial; una gavilla en un espacio topológico $X$ es un functor contravariante de la categoría de abrir conjuntos de $X$ (con el morfismos las inclusiones) que satisface una cierta exactitud la propiedad. Cuando se interpreta de esta manera, es posible hablar de poleas en la general de la categoría con una adecuada noción de cobertura (es decir, un Grothendieck topología). Si uno utiliza diferentes categorías (por ejemplo, la Zariski sitio ofrece a los regulares de la gavilla cohomology, pero la etale sitio da etale cohomology), se puede obtener diferentes cohomology teorías. (Por cierto, como otro ejemplo, en la teoría de la etale grupo fundamental, Grothendieck desarrollado un enfoque abstracto de la teoría de Galois, que no sólo aclara la analogía entre la teoría de Galois y la clasificación de cubrir los espacios, pero permite construir puramente categóricamente una expresión algebraica $\pi_1$.)
En homotopy teoría, Quillen del lenguaje de categorías de modelo unificado de las ideas detrás de la homotopy teoría de simplicial conjuntos y la homotopy teoría de espacios topológicos. En otras palabras, para hacer homotopy teoría en este idioma, uno simplemente tiene una categoría con la estructura adecuada (mapas designado como cofibrations, fibrations, y la debilidad de equivalencias; se supone que resumen las nociones de Serre cofibration, fibration, y débil homotopy de equivalencia y satisfacer el levantamiento de propiedades), y de ello sólo uno puede construir la homotopy categoría. Hacerlo permite Quillen eficiente de encontrar nuevos ejemplos de categorías de modelo, que quizá no se asocian inmediatamente con "homotopy la teoría", tales como el modelo de la categoría de simplicial conmutativa anillos; con esto, y de una definición abstracta de la homología, él fue capaz de construir el llamado cotangente complejo y por lo tanto la Andre-Quillen cohomology de un anillo (que había sido conjeturado por Grothendieck).
Simplicial conjuntos de sí mismos puede ser vista puramente combinatoria: son una secuencia de conjuntos de $X_n$ con límite adecuado y la degeneración de los mapas, y esto es todo lo que uno necesita. Pero para un ser humano, esta secuencia de notación es algo formidable
y la onu-intuitivo; es mucho más limpio para usar el lenguaje de las categorías y dicen que son (contravariante) functors de la categoría de finito de conjuntos ordenados a la categoría de conjuntos. Esto permite construir fácilmente cosas como el estándar $n$-simplex $\Delta[n]$ y ver su característica universal (porque es sólo una consecuencia de la general categórica tonterías, Yoneda del lema). Uno de los beneficios de pensar en una manera categórica es que, a pesar de que sé muy poco acerca de esto, no es en realidad una teoría general (al parecer, desarrollado por Cisinski) de la construcción de las estructuras del modelo en presheaf categorías.
En matemáticas, sucede con frecuencia que un objeto va a parametrizar una familia de cosas de alguna manera. Por ejemplo, el esquema de Hilbert parametrizes cerrado subschemes de un esquema proyectivo, mientras que proyectiva del espacio mismo parametrizes línea de paquetes junto con un conjunto de generadores; hay numerosos ejemplos más. En cada uno, es un poco difícil decir exactamente lo que "parametrizes" realmente significa: la metodología elegante es decir, que algún functor es representable. En otras palabras, es decir, que algunos functor $F$ puede ser realizado como mapas en algún objeto $X$, que es el "universal" parametrización un objeto. A menudo es de interés para dar algunos criterios específicos para un general functor a ser representable (y en esto consiste la esencia de la categoría de enfoque; demostrando la representabilidad de forma individual para un hormigón functor es una tarea que podría, a priori, ser formulado sin apelar a la categoría de teoría).
En topología algebraica, un lugar espectacular resultado (el Marrón teorema de representabilidad) afirma que cualquier cosa que se ve un poco como cohomology (en particular, cualquier extraordinaria cohomology teoría) es representable en el homotopy categoría, al menos si nos atenemos a CW complejos. Esto es realmente un barrido de resultado, ya que se aplica a una gran clase de functors.**
(En la geometría algebraica, yo no soy consciente de que cualquier fuerte suficiencia condiciones. Por otro lado, hay bastante estrictas necesarias condiciones que cualquier representable functor en la categoría de esquemas deben satisfacer---functors debe ser poleas en adecuado Grothendieck topologías (cf. 1 arriba). Esto en la práctica es un tipo de descenso de la condición.)
*Yo creo que uno razonablemente argumentar que incluso la introducción de la gavilla cohomology fue una revolución de la categoría de enfoque: gavilla cohomology es (generalmente) que se define como un derivado functor en la categoría de poleas, pero un derivado functor en un abelian categoría, no algo que es obviamente una categoría de módulos. (La noción de derivada functors en un abelian categoría fue, si no me equivoco, que se introdujo en Grothendieck del Tohoku papel).
**Una aplicación interesante de esto es el caso de singular cohomology sí mismo. La implicación es que si $X$ es un CW complejo, entonces hay un espacio fijo $K(G, n)$ (para cada grupo abelian $G$$n \in \mathbb{Z}$) que homotopy clases de mapas de $X \to K(G, n)$ están de forma natural en bijection con cohomology clases en $H^n(X, G)$. De esto se sigue que $K(G, n)$ sólo puede tener un nonvanishing homotopy grupo, y se obtiene una consecuencia de esta categórica tontería Eilenberg-Maclane espacios. (Para ser justos, debería señalar que, por ejemplo, Hatcher la construcción de la Eilenberg-Maclane espacios es básicamente un juguete analógica de la prueba de Brown de representatividad.)
Finalmente, una de las principales ventajas de la categoría de la filosofía (que ya he insinuado) es que permite la reutilización de ideas. Algunas ideas, como Yoneda del lexema o la idea de una característica universal, tomar un poco de tiempo para digerir, pero que se muestran tan sorprendentemente a menudo, a través de diversas disciplinas matemáticas, que es más eficiente para probarlo una vez en la máxima generalidad de volver a hacer un caso especial de una y otra. Quizás una de las razones para esto es que muchas de las construcciones que encontramos en las matemáticas (la tangente lote a un suave colector, el singular (co)homología o homotopy grupos de un espacio topológico, el producto tensor de módulos (o anillos), la operación de la base-el cambio en la geometría algebraica) son en última instancia los functors.
