La pregunta es:
Hace interpretar en una base diferente de preservar los números racionales e irracionales?
Hace interpretar en una base diferente de preservar algebraicas y trascendentales números?
(Yo uso la interpretación en una base diferente , en lugar de cambiar de base para hacer referencia al proceso que se describe.)
La respuesta a (1), es que sí, que se muestra a continuación.
Una respuesta afirmativa a (2) contradice varias conjeturas y por lo tanto (2) es probablemente falsa.
Específicamente, se cree que cada algebraica irracional es normal, o más débil, cada algebraica irracional tiene cada dígito en su base-$b$ expansión para cualquier $b$, ver mathoverflow.
Tenga en cuenta que $x = \sqrt{2} = 1.414\ldots$ contiene todos los dígitos en su base-$10$ expansión, pero si se forma
$$
y = (1.414\ldots)_{11}
$$
a continuación, $y$ no contiene el dígito $[10]$ en su base-$11$ expansión. Así que de acuerdo a la (bastante plausible) conjetura, no puede ser algebraicas irracionales. Y ciertamente no es irracional, por (1). Por lo que debe ser trascendental, contradiciendo (2).
Por el contrario, con el fin de mostrar (2) es falso uno desea usar una fácilmente describible de expansión, tales como la de los números de Liouville. Pero los números de Liouville (como la construcción de vínculo) son trascendentales, no importa la base que utilizamos.
Así que espero que muestra (2) ser falsa es ser difíciles-como muestra de que las cosas sean trascendental a menudo es.
Reclamo:
Deje $r,s \ge 2$ se entero de bases.
Deje $x = \sum_{i=1}^\infty a_i r^{-i}$, e $y = \sum_{i=1}^\infty a_i s^{-i}$ donde $a_i$ son enteros tales que$\boldsymbol{0 \le a_i < \min(r,s)}$.
A continuación, $x,y$ son tanto racional o irracional.
Prueba:
En palabras, la razón de esto es que una eventual-periódico lista de dígitos es racional en cada base, y no periódicas de la lista de dígitos es irracional en cada base.
Primero vamos a citar los siguientes resultados fructíferos.
El resultado ha sido señalado en los comentarios, pero voy a ser un poco más cuidadoso, permitiendo que distintos base-$b$ representaciones que son equivalentes, tales como $(0.0\overline{1})_2 = (0.1\overline{0})_2$.
Prop. Para un número real $x \ge 0$, los siguientes son equivalentes:
$x$ es racional;
Existe una base $b$ tal que $x$ tiene un final, periódico de la base de $b$ de representación;
Para cada base de $b \ge 2$, cada base-$b$ representación de $x$ es el tiempo de periódico.
Ahora supongamos $x$ es racional, por lo que por $(1) \implies (3)$, $a_n$ finalmente es periódica; por lo tanto, por $(2) \implies (1)$, $y$ es racional. Y viceversa, si $y$ es racional, a continuación, $x$ es racional.
$\square$
La condición de "$\boldsymbol{0 \le a_i < \min(r,s)}$" es fundamental tanto en el sobre de la proposición y en el principal reclamo.
Sin esa condición, se puede tomar un número racional, decir $1$, y escribir en la base 2 como:
$$
1 = (1\;03\;11\;03\;111\;03\;1111\;03\;11111\;03\;\ldots)_2
$$
lo que no es, finalmente, periódico.
