Encuentre el rango de $f(x) = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2 + 5$ sin aplicar cálculo diferencial

Question

Encuentra el rango de $ f(x) = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2 + 5$ sin aplicar cálculo diferencial.

Intenté expresar $$ f(x)=3x^4-16x^3+18x^2+5=A(ax^2+bx+c)^2+B(ax^2+bx+c)+C $$ que es un cuadrático en $ax^2+bx+c$ que a su vez es cuadrático en $x$. Comparando coeficientes, obtenemos

$$Aa^2=3 \tag{1}$$

$$2abA=-16$$

$$A(b^2+2ac)+aB=18$$

$$2bcA+bB=0$$

$$Ac^2+Bc+C=5$$

Pero sentí que era muy largo resolver estas ecuaciones. ¿Alguna pista?

Answer 1

Consideremos el mínimo de $f(x)$ como $k$. Entonces $f(x)-k$ tiene al menos una raíz repetida. Es decir

$$f(x)-k=3x^4-16x^3+18x^2+5- k=3(x-a)^2(x^2+bx+c)$$

Expande y iguala los coeficientes, obtienes $k=5-3a^2 c$, y

$$3(b-2a)=-16 \\ 3(c+a^2-2ab)=18 \\ a(ab-2c)=0$$

A partir de la tercera ecuación, si $a=0$, entonces $k=5$. Para $a \neq 0$ combinando las tres ecuaciones se obtiene $a^2=4a-3$. Así que $a=1, 3$.

$a=1$ lleva a $c=-\frac{5}{3}$, y $k=5-3(-\frac{5}{3})=10$.

$a=3$ da $c=1$, y $k=5-27=-22$.

Por lo tanto, el mínimo es $k=-22$.

Answer 2

El rango es $[k,+\infty)$ donde $k$ es el valor mínimo tal que la desigualdad $$ 3x^4-16x^3+18x^2+5\ge k $$ es verdadera para cualquier $x \in \mathbb{R}$ y este es el valor mínimo $k$ tal que la ecuación $$ 3x^4-16x^3+18x^2+5- k=0 $$ tiene una solución doble, es decir que el discriminante de $3x^4-16x^3+18x^2+5- k$ es nulo.

El cálculo del discriminante para un polinomio cuártico es un poco "pesado", pero Wolfram Alpha da:

$$\Delta= -6912(k-5)(k-10)(k+22)$$

así que el valor mínimo es $k=-22$.