Evaluar la forma cerrada de $\int_{0}^{\pi/2}\arctan\left(\sqrt{\sin(2x)\over \sin^2(x)}\right)\mathrm dx$

Question

Teniendo en cuenta que:

$$I=\int_{0}^{\pi/2}\arctan\left(\sqrt{\sin(2x)\over \sin^2(x)}\right)\mathrm dx$$

y

$$J=\int_{0}^{\pi/2}\arctan\left(\sqrt{\sin(2x)\over \cos^2(x)}\right)\mathrm dx$$

P1: ¿Cómo evaluamos el cerrado $I$?

Q2: Mostrar que $I=J$.

Recordar %#% $ #%

$$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left({x+y\over 1-xy}\right)$$

No sé qué hacer...

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Más tarde nos damos cuenta de que esta integral tiene la misma cerrada forma de @Jack D'aurizio

$$I+J=\int_{0}^{\pi/2}\arctan\left(\sqrt{2\cot x}+\sqrt{2\tan x}\right)dx$$

Answer 1

$$\begin{eqnarray*}I=\int_{0}^{\pi/2}\arctan\sqrt{2\cot x}\,dx &\stackrel{x\mapsto\frac{\pi}{2}-x}{=}&\int_{0}^{\pi/2}\arctan\sqrt{2\tan x}\,dx\tag{1}\\&\stackrel{x\mapsto\arctan u}{=}&\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan\sqrt{2u}}{1+u^2}\,du\\&\stackrel{u\mapsto v^2/2}{=}&\int_{0}^{+\infty}\frac{v\arctan v}{1+\frac{1}{4}v^4}\,dv\end{eqnarray*}$ $ y esto se puede solucionar fácilmente a través de la diferenciación bajo el signo integral, computación $$\int_{0}^{+\infty}\frac{v^2\,dv}{(1+a^2 v^2)\left(1+\frac{1}{4}v^4\right)} =\frac{\left(2^{1/4}+a \left(-2+2^{3/4} a\right)\right) \pi }{2+4 a^4}\tag{2}$ $ y luego aplicar $\int_{0}^{1}\ldots\,da$ a esa expresión. El resultado final es: $$ I = \color{red}{\frac{\pi}{2}\arctan\frac{4}{3}}=\pi\arctan\frac{1}{2}.\tag{3} $$ $(1)$ $I=J$ demuestra.