Mostrar una curva no es una superficie regular

Question

Un conjunto de $S\subseteq\mathbb{R}^3$ se dice que es una superficie regular, si para cada $p\in S$ allí existe una bola abierta $B_p(r)$ alrededor de $p$, un abierto sistema de $A\subseteq\mathbb{R}^2$ y una función $f:A\to\mathbb{R}^3$ tal que $f(A) = B_p(r)\cap S$, $f$ es continuamente diferenciable y $rank(D_f) = 2$.

Necesito demostrar que una línea recta $\gamma(t) = \gamma(0) + tv$ donde $v\in\mathbb{R}^3$ no es una superficie regular. No creo que la definición tiene completamente hundía y me parece muy intuitiva pero simplemente no sé cómo empezar.

Answer 1

Sin duda, la razón por la que encontrar este resultado intuitiva es que la línea recta es una dimensión más de dos dimensiones. Por lo tanto debemos identificar la parte de la definición que capta la idea de que una superficie de dos dimensiones.

Vamos a escribir la condición de ${\rm rank}(D_f) = 2$. Si $(u,v)$ están las coordenadas de $A \subset \mathbb R^2$, esto es decir que $$ D_f = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ \end{bmatrix}$$ tiene rango dos para la elección de la $(u,v) \in A$.

Una forma más intuitiva de decir esto es como sigue. Elegir un punto de $p = f(u_0, v_0)$ en la superficie, y considerar las curvas $$ t \mapsto f(u_0 + t, v_0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ t \mapsto f(u_0, v_0 + t)$$ dentro de la superficie. Los vectores tangente a $p$ a estas curvas son las derivadas parciales de $\frac{\partial \vec r}{\partial u}$ $\frac{\partial \vec r}{\partial v}$ evaluado en $(u_0, v_0)$. La condición de ${\rm rank}(D_f) = 2$ es decir que los dos vectores tangente $\frac{\partial \vec r}{\partial u}$ $\frac{\partial \vec r}{\partial v}$ son linealmente independientes. En otras palabras, hay dos direcciones en las que se puede mover dentro de la superficie, y es en este sentido que la superficie es de dos dimensiones.

Ahora vamos a volver a la línea recta. Es posible encontrar dos curvas incrustado en el interior de la línea recta cuyos vectores tangente en un punto dado son linealmente independientes?