Alicia en el País de las Maravillas y los sistemas con potencial cuadrático

Question

La profesora de mi hijo me pidió que les contara a los niños algo sobre el péndulo y su relación con la caída a través de la tierra y la oscilación (han estado leyendo Alicia en el País de las Maravillas).

Como ambos pueden aproximarse mediante un oscilador armónico, pensé en presentarles algunos sistemas más equivalentes, en particular el de una masa puntual que se mueve en un valle parabólico, el potencial cuadrático más sencillo. Rápidamente me di cuenta de que en realidad no se trata de un oscilador armónico: dejemos que $x$ sea la posición horizontal de una partícula puntual de masa $m$ en un campo gravitatorio uniforme hacia abajo con constante de gravedad $g$ y considerar un valle centrado en el origen con perfil de altura $h(x)$ .

Si no me he equivocado, el Lagrangiano de este sistema es

$$L(x,\dot x) = \frac12 m\dot x^2\left(1 + h'(x)^2\right) - mgh(x).$$

La ecuación de Euler-Lagrange es (factorizando $m$ )

$$\ddot x\left(1 + h'(x)^2\right) - \dot x^2h'(x)h''(x) + gh'(x) = 0.$$

Para una función de altura cuadrática, como $h(x) = \frac12x^2$ esto se convierte en

$$\ddot x\left(1 + x^2\right) - \dot x^2x + gx = 0.$$

Realmente no sé cómo resolver esto, pero la solución, aunque obviamente (desde el problema físico) es oscilante, no es armónica.

Por otro lado, debe haber una solución para $h(x)$ para la que sí obtenemos una solución armónica.

Mis preguntas (suponiendo que lo anterior sea correcto):

• ¿Podría haber quedado claro desde el principio que no se trata de un oscilador armónico? Obviamente tenemos un potencial que es cuadrático en la coordenada del espacio de configuración, pero parece que la dependencia del término cinético de $x,\dot x$ no es la correcta.
• Para lo cual $h(x)$ ¿obtendríamos un oscilador armónico?

Answer 1

Dado que el oscilador armónico se caracteriza porque el periodo es insensible a la amplitud, podemos entender este problema como equivalente al bien conocido (y resuelto) Tautocrona (o isocrona) problema.

El resultado es una cicloide escrita paramétricamente como \begin{align*} x &= \frac{\sin (2\theta) + 2\theta}{8} \\ \\ y &= \frac{1 - \cos (2\theta)}{8} \;, \end{align*} y el artículo de Wikipedia muestra una construcción para construir es péndulo tautocrónico.

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Me temo que habrá que ser creativo para sacar de esto una línea de debate fructífera para una presentación a los escolares.