Supongo que $G$ es un gráfico localmente finito e infinito. Hay condiciones fáciles (y no triviales) condiciones en $G$ garantizando que $$\sum_{v \in V(G)} \frac{1}{\deg v} < \infty \;\;?$ $ aquí $\deg v$ es solo la Valencia del vértice $v$.
¿Por otra parte, si esta serie converge, hay cualquier interpretación del número resultante?
Si una gráfica tiene $V$ vértices, entonces el valor mínimo de la serie se lleva a cabo cuando se tiene un grafo completo a menos que usted desea ser posible que varias aristas para conectar dos nodos. Aún así, si el número de aristas que permiten conectar dos vértices es una constante, el valor mínimo que todavía se lleva a cabo en esta versión modificada de un grafo completo. La suma de la serie es, por tanto, $\frac{V}{k(V-1)}$ donde $k$ es el máximo número de aristas entre dos nodos. Si usted permite que los bucles de un nodo a sí mismo, entonces la suma es igual a $\frac1k$. Ahora, para un infinito gráfico, tomamos $\lim_{V\to\infty}\frac{V}{k(V-1)}=\frac1k$. Podemos extender esto mediante la introducción de una nueva variable, $c$, lo que indica un "promedio" (suponiendo que los bordes están distribuidos de manera uniforme, más sobre esto más adelante) ¿qué fracción de los otros nodos un nodo se conecta. Explícitamente, $c=\frac{2E}{V^2}$, lo que significa que su finitos suma es igual a $\frac V{ck(V-1)}=\frac{V^3}{2kE(V-1)}$. Esto sólo convergen si $E=\Theta(V^2)$, pero ya que usted planea en tener un número infinito de bordes, mientras $c>0$, vas a estar bien. Esto nos deja con su suma es $\frac1{ck}$. Nota que los valores más bajos de $c$ el rendimiento de un valor superior para su suma y los valores más altos de $k$ el rendimiento de un valor inferior.
Esto, sin embargo, se supone que los bordes están repartidas por igual entre todos los nodos. Como un ejemplo sencillo, imaginemos un finito gráfico con diez nodos y diez bordes. Para todos conectados gráficos como esta $c=\frac15$$k=1$. Si el gráfico es un ciclo, la suma sería igual a $5$. Si el gráfico es en lugar de esto:
La suma sería de $\frac{73}9=8\frac19$. Esto nos muestra que el menos aún la distribución de los vértices en la gráfica, mayor será la suma. En otras palabras, si se puede expresar el número de aristas como una función del número de vértices, la diferencia entre la suma y la $\frac V{ck(V-1)}=\frac{V^3}{2kE(V-1)}$ va a medir cómo se distribuyen de manera desigual los bordes. Esto sólo va a ser un problema, sin embargo, si usted tiene un número infinito de nodos que tienen un número finito de vecinos.
Una diversión infinita gráfico que se me ocurre es esta:
que se puede generar mediante la creación de la adición de una fila con el doble del número de nodos en la fila anterior y la conexión de cada nodo en cada fila con el nodo siguiente. El número de aristas entre el $n-1^{th}$ e las $n^{th}$ fila $2^n2^{n-1}=2^{(n-1)n}$, por lo que el número total de los bordes de la $n^{th}$ parcial gráfico es $$\sum_{k=0}^n2^{k(k+1)}>2^{n^2}$$ The total number of vertices is $$\sum_{k=0}^{n+1}2^k=2^{n+2}$$ que significa esto converge. No tengo idea de cómo encontrar una suma parcial de la serie de los bordes, así que sólo utiliza un buen límite inferior. Independientemente, el número de aristas sería tan por encima de la cantidad de vértices que su suma iría a cero si los bordes se distribuye de manera uniforme. Este gráfico, sin embargo, no distribuir los bordes de manera uniforme. Un nodo de la fila $k$ toca exactamente $2^{k-1}+2^{k+1}$ otros nodos, y hay $2^k$ nodos en cada fila. Su suma sería de $$\frac12+\sum_{k=1}^\infty\frac{2^k}{2^{k-1}+2^{k+1}}=\frac12+\sum_{k=1}^\infty\frac{2^k}{2^{k-1}(1+2^2)}=\frac12+\sum_{k=1}^\infty\frac25=\infty$$
Este debe tener sentido porque un nodo en cualquier finito fila toca un número finito de nodos. Con la forma en que estos nodos se organizan, ninguno de ellos toque distinto de cero fracción de los nodos.
Por último, echemos un vistazo a un infinito gráfico con una distribución irregular de los bordes. Digamos que, en este infinito gráfico, la mitad de los nodos de toque de la mitad de los nodos y la mitad de los nodos toque de un tercio de los nodos. Aparte de eso, todos los bordes se extienden tan iguales como sea posible. Esto es lo finito, la versión de que el gráfico se vería
La fracción de nodos de un promedio nodo toca es $$\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac13=\frac5{12}$$ y así, perfectamente, incluso gráfica tienen una suma de $\frac{12}5$. Este gráfico, sin embargo, tendría una suma de $$\frac12\cdot\frac1{\frac13}+\frac12\cdot\frac1{\frac12}=\frac12\cdot(3+2)=\frac52$$ La diferencia de $\frac1{10}$ indica que la desigualdad de la gráfica. Me siento como usted puede hacer una permanente versión de lo que hizo en la última línea de matemáticas, pero no veo cómo hacerlo ahora mismo.
Resumen: Para que su suma a converger, debe tener sólo un número finito de nodos con grado finito y cada nodo debe tocar al menos un valor distinto de cero fracción de todos los otros nodos. La interpretación de la suma dada una cierta relación entre el número de vértices y el número de aristas es la falta de uniformidad en el gráfico cuando se compara con un gráfico con todos los bordes repartidos de manera equitativa entre todos los nodos.
Rápida P. S. Esto sólo se aplica para la conexión de los gráficos como una desconectado nodo conduce a una divergentes suma.
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