Es $X$ irreducible en $R[X]$ ?

Question

Supongamos que trabajamos con un anillo conmutativo $R$ . Estoy leyendo una prueba donde el autor escribe

"Si estamos en $R[X]$ y sabemos que $f\mid X$ . Por lo tanto, o bien $f$ es un múltiplo unitario de $X$ o es una unidad, por lo que $(f)=(X)$ o $(f)=(1)$ ."

Esto parece suponer que $X$ es irreducible en $R[X]$ . Sin embargo, no sé cómo podríamos probar esto a menos que asumamos $R$ es un dominio integral. Resolver a mano $$(a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n)(b_0+b_1X+\cdots+b_mX^m)=X$$ no parece requerir que uno de estos polinomios sea una unidad. ¿Me he perdido algo?

Answer 1

Permítanme resumir y dar otra respuesta, que la pregunta ha merecido.

1. Sí, esto es correcto. La afirmación no sigue a menos que asumamos que $R$ es un dominio integral . Podemos dar fácilmente ejemplos en los que $R$ es un anillo conmutativo con divisores cero, y la afirmación es falsa. Sea $n=ab$ sea un número compuesto y tome $R=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Entonces $a,b$ son divisores de cero en $R$ y tenemos $$ (ax+b)(bx+a)=(a^2+b^2)x. $$ Si podemos elegir $a,b$ tal que $a^2+b^2=1$ en $R$ entonces obtenemos un contraejemplo. Por ejemplo, tomemos $(a,b)=(3,4)$ con $n=12$ o $(a,b)=(2,3)$ con $n=6$ (ver el comentario).

2. Si $R$ es un dominio integral, tenemos $\deg(fg)= \deg(f)+\deg(g)$ para $f,g\neq 0$ . Entonces $x$ es irreducible.

Answer 2

De hecho, se puede demostrar el siguiente teorema:

Thm. Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo con 1. Entonces $X$ es irreducible en $A[X]$ si y sólo si $A$ no tiene elementos idempotentes no triviales (significado no trivial: diferente de $0$ y $1$ )

Prueba. Demostraré de hecho que $X$ es reducible si y sólo si $A$ tiene un idempotente no trivial.

Supongamos que $e\in A$ es un idempotente diferente de $0$ y $1$ . Entonces los polinomios $(1-e)X+e$ y $eX+(1-e)$ son no nulos, no invertibles (de lo contrario sus términos constantes serían invertibles, lo que implicaría que $e=0$ o $1$ ya que $e(1-e)=0$ ). Sin embargo, $((1-e)X+e)(eX+(1-e))=X$ Así que $X$ es reducible.

Supongamos ahora que $X$ es reducible. Obsérvese que es distinto de cero, y no invertible (ya que su término constante no es invertible). Por lo tanto, $X=RS,$ donde $R$ y $S$ no son invertibles

Escriba $R=a+XP,S=b+XQ.$ Entonces tenemos $X=ab+(aQ+bP)X+X^2PQ$ .

Evaluación en $0$ produce $ab=0$ . Por lo tanto, $X=(aQ+bP)X+X^2PQ$ . Sicne multiplicación por $X$ es inyectiva, obtenemos $$1=aQ+bP+XPQ.$$ Establecer $v=P(0)$ y $u=Q(0)$ . Evaluación en $0$ produce $au+bv=1$ . Establecer $e=au$ . Tenemos $$e^2=au (1-bv)=au-abuv=au=e,$$ por lo que $e$ es un idempotente.Supongamos que $e=0$ . Entonces, $bv=1$ Así que $b$ es invertible y en consecuencia $a=0.$

Entonces tenemos $X=XPS$ . Dado que la multiplicación por $X$ es inyectiva, obtenemos $1=PS$ Así que $S$ es invertible, contradicción. Por lo tanto, $e\neq 0$ . Del mismo modo, si $e=1$ entonces $au=1$ y obtenemos esta vez que $R$ es invertible. Conclusión: $e$ es un idempotente no trivial de $A$ .