Significado del hiperfinito factor $III_1$ para la teoría cuántica de campos axiomática

Question

Usando una forma de los axiomas de Haag-Kastler para la teoría cuántica de campos (ver AQFT en el nLab para más detalles), es posible en contextos bastante generales demostrar que todas las álgebras locales son isomorfas al factor hiperfinito $III_1$ o al producto tensorial del factor $III_1$ con el centro de la álgebra local dada.

(Una álgebra local es el álgebra de observables que se asocia a un subconjunto abierto acotado del espacio de Minkowski. El término factor $III_1$ se refiere a la clasificación de Murray-von Neumann de factores de álgebras de von Neumann).

También ver esta pregunta en Math Overflow para más detalles.

Por lo tanto, se podría decir que la mecánica cuántica tiene los factores $I_n$ y $I_{\infty}$ como campo de juego, mientras que la teoría cuántica de campos tiene el factor hiperfinito $III_1$ como campo de juego.

Mis preguntas tienen dos partes:

1) Me gustaría saber acerca de un sistema físico concreto donde sea posible demostrar que las álgebras locales son factores hiperfinitos $III_1$, si existe alguno donde esto sea posible.

2) ¿Existe una interpretación en términos físicos de la presencia del factor hiperfinito $III_1$ en la teoría cuántica de campos?

Answer 1

Este artículo de Yngvason probablemente sea un buen comienzo:

Yngvason, J. (2005). The role of type III factors in quantum field theory. Reports on Mathematical Physics, 55(1), 135–147. (arxiv)

La propiedad de Tipo III dice algo sobre la independencia estadística. Sea $\mathcal{O}$ un doble cono, y sea $\mathfrak{A}(\mathcal{O})$ el álgebra asociada de observables. Asumiendo la dualidad de Haag, tenemos que $\mathfrak{A}(\mathcal{O}')'' = \mathfrak{A}(\mathcal{O})$. Si $\mathfrak{A}(\mathcal{O})$ no es de Tipo I, entonces el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ del sistema no se descompone como $\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ de tal manera que $\mathfrak{A}(\mathcal{O})$ actúa en el primer factor tensorial y $\mathfrak{A}(\mathcal{O}')$ en el segundo. Esto implica que no se puede preparar el sistema en un estado determinado cuando se restringe a mediciones en $\mathcal{O}$ independientemente del estado en el complemento causal. Cabe señalar que si se cumple la propiedad de separación, es decir, existe un factor de Tipo I $\mathfrak{N}$ tal que $\mathfrak{A}(\mathcal{O}) \subset \mathfrak{N} \subset \mathfrak{A}(\widehat{\mathcal{O}})$ para alguna región $\mathcal{O} \subset \widehat{\mathcal{O}}$, entonces está disponible una propiedad ligeramente más débil: un estado se puede preparar en $\mathcal{O$ independientemente del estado en $\widehat{\mathcal{O}}'$. Se puede encontrar una ilustración de las consecuencias en el artículo anterior.

Otra consecuencia es que la propiedad B de Borchers se cumple automáticamente: si $P$ es alguna proyección en $\mathfrak{A}(\mathcal{O})$, entonces hay alguna isometría $W$ en la misma álgebra tal que $W^*W = I$ y $W W^* = P$. Esto implica que podemos modificar el estado localmente para que sea un autovector de $P$, haciendo la modificación $\omega(A) \to \omega_W(A) = \omega(W^*AW)$. Tenga en cuenta que $\omega_W(P) = 1$ y $\omega_W(A) = \omega(A)$ para $A$ localizado en el complemento causal de $\mathcal{O}$. Tipo III$_1$ implica algo ligeramente más fuerte, consulte el artículo citado para más detalles.

En cuanto a la primera pregunta, se puede demostrar que las álgebras locales de las teorías de campos libres son de Tipo III. Esto fue hecho por Araki en la década de 1960. Puede encontrar referencias en el artículo mencionado anteriormente. En general, la condición de Tipo III se sigue de suposiciones naturales sobre las álgebras observables. Los ejemplos no triviales probablemente deban encontrarse en la teoría de campos conforme, pero no conozco ninguna referencia en este momento.

Answer 2

En cuanto a la primera pregunta. Como Pieter ya dijo para un red conforme la propiedad $III_1$ se cumple (si no es $\mathbb C$). Además, $e^{-\beta L_0}$ siendo de clase traza para todo $\beta>0$ con $L_0$ el generador de las rotaciones implica la propiedad de división, lo cual implica que $\mathcal A(I)$ sea el factor $III_1$ hiperfinito.

editar La propiedad $III_1$ y la clase traza que implica división se pueden encontrar en - D'Antoni,Longo,Radulescu. Redes Conformes, Temperatura Máxima y Modelos de Probabilidad Libre [arXiv:math/9810003v1]