Escogimos al azar uniformemente punto de picking $x$ en una unidad de la circunferencia de la $\{x^2 + y^2 = 1\}$. Luego tenemos al azar uniformemente punto de picking $y$ en un círculo unitario $\{x^2 + y^2 \leq 1\}$. Deje $R$ ser un rectángulo con la diagonal $xy$, que los lados son paralelos a los ejes de coordenadas. ¿Cuál es la probabilidad de que $R$ se encuentra completamente dentro del círculo unidad?
Vamos a ver, que después de $x$ es elegido tenemos un rectángulo $A$, dentro de la cual nuestro punto de $y$ debe caer para satisfacer la condición de la tarea.
El área del rectángulo $A$ es igual a $S_A(x) = 4 \sin{(2x)}$ y la probabilidad de $P(\{y \in A\}) = \frac{S_A}{S_{circle}} = \frac{S_A}{\pi}.$ ¿Cómo puedo encontrar esta probabilidad?
El problema para mí es que $S_A(x)$ es la transformación de la variable aleatoria $x \sim unif(0, \frac{\pi}{2})$. Por alguna razón creo que la respuesta es $\frac{\mathbb{E}[S_A(x)]}{\pi} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{\pi/2 - 0} \cdot \int_0^{\pi/2}S_A(x)dx$, pero no sé por qué me lo creo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para una determinada posición de $X$, dicen en coordenadas $(\cos\theta,\sin\theta)$ en el primer cuadrante, el área del rectángulo es
$$A=4\sin\theta\cos\theta.$$
La probabilidad de caer en $Y$ $A$ se dibuja uniformemente en el disco, es $A/\pi$.
Luego como $X$ es uniformemente sobre la circunferencia e independientemente de $Y$, tomar la expectativa en el primer cuadrante,
$$P=\frac4\pi\frac 2\pi\int_{\theta=0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\frac4{\pi^2}.$$
Que las coordenadas del primer punto de ser$(x_0,y_0)$, y los del segundo punto de ser $(x_1, y_1)$. Luego las coordenadas de los otros dos puntos en el rectángulo se $(x_0, y_1)$$(x_1, y_0)$.
Supongamos que el primer punto se debe caer en el cuarto de círculo en el primer cuadrante. Esto no afecta a la probabilidad del todo debido a la simetría del círculo. Luego tenemos a $y_0=\sqrt{1-x_0^2}$. Con el fin de tener el rectángulo completamente dentro del círculo, todos deben cumplirse las siguientes condiciones: $$x_0^2+y_1^2 \le 1$$ $$x_1^2+y_0^2 \le 1$$ Podemos sustituir en la segunda requisito de $y_0=\sqrt{1-x^2}$ para obtener $$x_1^2+1-x_0^2 \le 1$$ $$x_1^2-x_0^2 \le 0$$ $$x_0^2 \ge x_1^2$$ $$|x_0| \ge |x_1|$$ Del mismo modo, el primer requisito puede ser sustituido por $$|y_0| \ge |y_1|$$ y nuestros requisitos son $$|x_0| \ge |x_1|$$ $$|y_0| \ge |y_1|$$ Probar y visualizar este:
Deje $F$ ser el evento en el que el rectángulo se adapta, y $P(F|x_0)$ la probabilidad de que el rectángulo se cae completamente dentro del círculo dado el valor de $x_0$. Todos los puntos de $(x_1, y_1)$ para que el rectángulo se ajuste en el círculo de dentro del rectángulo verde se muestra con anchura $2x_0$ y la altura de la $2y_0$. Este es ahora un espacio de problemas de probabilidad. Dado $x_0$, ahora podemos decir que la probabilidad de que el rectángulo de ajuste es la probabilidad de que $(x_1, y_1)$ tierras en ese rectángulo verde. Esta probabilidad está dada por el área del rectángulo sobre el área del círculo: $$P(F|x_0)=\frac{4x_0y_0}{\pi}$$ $$P(F|x_0)=\frac{4x_0\sqrt{1-x_0^2}}{\pi}$$ Vamos a tener que integrar sobre este para encontrar el total probabilidad. Nuestro primer instinto sería probar $$\int_{-1}^{1} P(F|x_0)dx_0$$ pero esto cuenta los puntos en la circunferencia del círculo de manera desigual, y no con igual probabilidad. En lugar de eso, debemos tratar de $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} P(F|\cos x_0)dx_0$$ Debido a que este barridos de la circunferencia de un cuarto de círculo recuento de todos los puntos por igual. Así, la probabilidad debe ser $$\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4\cos x_0\sqrt{1-\cos^2 x_0}}{\pi}dx_0$$ Podemos simplificar esto $$\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4\cos x_0|\sin x_0|}{\pi}dx_0$$ Este valor resulta ser de alrededor de $0.405$.
Debido a la simetría, sin pérdida de generalidad que el punto sobre la circunferencia es uniformemente seleccionado en el primer cuadrante, que es lo que hace un ángulo de $\theta$, uniforme en $(0,\pi/2)$.
El $x$-componente de este punto, a continuación, $X_0= \cos \theta$ e las $y$-componente es $Y_0=\sin \theta$.
En cuanto al segundo punto, escribe $X$ $Y$ $x$ - $y$ - componentes, respectivamente. Para que el rectángulo para ser incluida en el círculo, debemos tener $ (X,Y) \in [-X_0,X_0]\times [-Y_0,Y_0]$.
Debido a $(X,Y)$ es uniforme en el disco, y es independiente de $\theta$, acondicionado en $\theta$, la probabilidad de $(X,Y)$ aterrizaje en este rectángulo es el área de este rectángulo dividido por $\pi$. Es decir,
$$ \frac{ 2 \cos \theta \times 2 \sin \theta}{\pi} = \frac{ 2 \sin (2\theta) }{\pi}.$$
Integrar con respecto a $\theta$ para obtener la respuesta:
$$p= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{ 2\sin (2\theta)}{\pi}d\theta= \frac 2{\pi^2} \int_0^{\pi}\sin(u)du =\frac{4}{\pi^2}. $$
