¿Es localmente integridad una propiedad topológica?

Question

Sé que la integridad sí es no es una propiedad topológica porque una completa y no incluye espacio métrico puede ser homeomórficos, por ejemplo,$\Bbb R$$(0,1)$.

Sin embargo, tanto en $\Bbb R$ $(0,1)$ son localmente completa (cada punto tiene una vecindad que se completa con arreglo a la inducida por la métrica). Como todos los ejemplos que conozco son de esta forma, el que se produce naturalmente siguiente pregunta es

Pregunta: Se localmente completar una propiedad topológica?

O al revés: hay métrica espacios de los que se homeomórficos, pero uno es localmente completo y el otro no lo es?

Answer 1

Los números irracionales no son localmente completos, pero son homeomorfa al % de espacio de Baire $\mathbb N^{\mathbb N}$, que se puede dar una métrica convirtiendo en un espacio métrico completo.

(Por ejemplo, dotar a $\mathbb N$ con la métrica discreta y establece $d(s, t) = \sum_{i=0}^\infty\frac{1}{2^i}d(s_i,t_i)$).

Answer 2

Otra forma de probar que los irrationals puede hacerse completa con respecto a una métrica $d$ que es equivalente al uno consiste en la prestación de tal métrica generalmente. Esto puede ser donne como sigue: % que $(q_n)_{n\in\mathbb N}$ser una enumeración de los racionales. Entonces, si $x,y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb Q$, definir %#% $ #%