Respuesta Corta:
La suma de $\sum_{j\in J} a + b +c+\cdots $ es el primer término siguiente de la $\sum$ operador. Es decir, todo antes de que el primer signo más o menos. En mi ejemplo, el primer término es $a$. Si desea incluir más cosas en el primer término, el uso de paréntesis. Por ejemplo, si desea suma por encima de la suma de $a$ $b$ (pero no $c$, etc), escribe $\sum_{j\in J} (a + b) +c+\cdots$
También, supongamos $(x_j)_{j\in J}=x_1,x_2,\ldots,x_j$ es una secuencia con el dominio $J$. Se ha señalado en los comentarios por SebastianSchoennenbeck, si uno quiere tomar la suma de todos los números de $j$ de manera tal que la secuencia de $(x_j)_{j\in J}$ está definido, es más claro para escribir $\sum_{j\in J} (x_j + C_1)$$\sum_{j} (x_j + C_1)$. Knuth la definición de la $\sum$ operador está de acuerdo, diciendo
Formalmente, podemos escribir la $\sum _{P(j)} x_j$ como una abreviatura para la suma
de todos los términos de $x_j$ tal que $j$ es un número entero en la satisfacción de un determinado
la propiedad $P(k)$. Una de las propiedades de $P(k)$' es cualquier declaración
acerca de $k$ que puede ser verdadero o falso (Knuth, en Concreto de las Matemáticas, 2e, p.23).
Observar que $j\in J$ es una declaración, mientras que $j$ no es, por lo tanto sólo se $\sum_{j\in J}$ es la notación correcta.
Ahora, voy a hablar de cada una de sus sugerencias. Nota:$\#1=\#3\neq \#2$!!!
- $\sum_{j\in J} (x_j + C_1) + C_2$
Esta es la notación correcta para tomar la suma, la suma de $x_j + C_1$. El paréntesis indica que el (la suma de) tanto en términos de $x_j,C_1$ están incluidos en el sumando (es decir, la cosa que se va a sumar). Puesto que el $\sum $ operador es lineal, tenemos que:
\begin{align} \sum_{j\in J} (x_j + C_1) + C_2
&= \sum _{j\in J} x_j +\sum _{j\in J} C_1 +C_2 \\
&= \sum _{j\in J} x_j +|J|\cdot C_1 +C_2 \\
\end{align}
con la última igualdad debido a que $C_1$ es una constante, y cualquier constante (es decir $C_1$), además de sí mismo $|J|$ veces, = $|J| \cdot C_1$.
- $[\sum_{j\in J} x_j + C_1] + C_2$
Esta notación sólo toma la suma de $x_j$. Esta expresión no es igual a los otros dos porque aquí $C_1$ no es en primer término ($x_j$) y, por tanto, no en el sumando. Por lo tanto su medio plazo es sólo un $C_1$ plazo en lugar de a $|J|\cdot C_1$.
Este llega al corazón de la cuestión: Sólo el primer término después de la $\sum$ se considera en el sumando (el primer término están las cosas antes de cualquier $+,-$). Si queremos tomar la suma de $x$ términos que encierran entre paréntesis.
La escritura de algunas de las simples sumas pueden ayudar a entender la notación. Supongamos que tenemos una secuencia $(a_j)=a_1,a_2,a_3$ (cuyo dominio es $J$={1,2,3}), y una constante C.
$$\sum_{j\in J} a_j + C= a_1 + a_2 +a_3 + C$$
Observar que, desde $C$ no es en primer término, y no hay paréntesis, no es en el sumando, y nosotros no suma más de él. En contraste:
\begin{align}
\sum_{j\in J} (a_j + C) &=
(a_1+C) + (a_2+C) +(a_3 + C)\\
&= \sum_{j\in J} (a_j) + 3C \\
&= \sum_{j\in J} (a_j)+ \sum_{j\in J}(C)
\end{align}
Por último, tenga en cuenta que ese $\sum _{j\in J} (x_j)$ es simplemente un número real (número real está cerrado bajo la adición), llame a $R_1$. Entonces usted tiene $[\sum_{j\in J} x_j + C_1] + C_2=(R_1+C_1)+C_2$. De curso $R_1+C_2$ también es un número real decir $R_2$, con lo que estas haciendo sustituciones, escribió $(R_2)+C_2$. Así, los paréntesis son claramente redundante.
- $[\sum_{j\in J} (x_j + C_1)] + C_2$
Esto es sólo #1 con un redundantes par de exterior paréntesis. Que es $\sum_{j\in J} (x_j + C_1)$ es simplemente un número real decir $R_3$. Así que escribí $ (R_3)+C_1$.
Referencias:
Stewart, Cálculo, 7e, p, A34-A37.
Knuth, en Concreto de las Matemáticas, 2e, 21-33.
