Incorporación de unidades de torsión de un pedido en unidades de torsión de la orden de reducción.

Question

Que $A$ sea una orden, es decir, un anillo comutativo de la cual el grupo aditivo es isomorfo a un cierto número entero no negativo $\mathbb{Z}^n$ $n$. Muestran que existe una inclusión % $ $$A^{\times}_{\text{tor}}\ \hookrightarrow\ (A_{\text{red}})^{\times}_{\text{tor}},$donde $A^{\times}_{\text{tor}}$ es el grupo de unidades de torsión de $A$ y $A_{\text{red}}=A/\sqrt{0_A}$ es el anillo reducido de $A$.

Edit: en respuesta a una respuesta que parece haber sido eliminado; Entiendo que el cociente mapa $A\rightarrow A_{\text{red}}$ se restringe a un homomorfismo de grupo $A^{\times}_{\text{tor}}\rightarrow(A_{\text{red}})^{\times}_{\text{tor}}$, pero soy incapaz de demostrar que este mapa es inyectivo.

Answer 1

Ya que esta es la tarea, te voy a dar una pista:

Si $a$ se encuentra en el núcleo de su mapa, mostrar que usted puede escribir $a = 1 + x$ para algunos nilpotent $x$. Ahora escribo $a^n = 1$ algunos $n$, a deducir de la correspondiente ecuación con $x$, y ver a dónde conduce.

Añadido: Dado que el OP se ha resuelto la cuestión, permítanme esbozar la respuesta, en base en la discusión en los comentarios:

$(1+x)^n = 1$ implica que el $nx + $ términos de orden superior en $x = 0$. A partir de esto es fácil deducir que $x = 0,$ que $x$ es nilpotent. (El OP da el siguiente muy sucinta aproximación: podemos factor $x$ en la ecuación anterior para obtener $x (n + $ términos relacionados con poderes positivos de $x) = 0$, y el factor entre paréntesis no es divisor de cero en a $A$ (desde $n$ no es un cero-divisor, y $x$ es nilpotent).)

Como un aparte, tenga en cuenta que la suposición de que $A$ es de torsión libre como un grupo abelian (esto es lo que realmente se utiliza, por supuesto que se desprende directamente de la suposición de que $A$ es una orden) es crucial. Hay char. $p$ ejemplos donde el mapa no es inyectiva. Uno de los más simples es obtenida por la toma de $A = \mathbb F_p[x]/(x^p).$