Técnicas probabilísticas, métodos e ideas en el análisis real ("Licenciatura")

Question

Como el libro Técnicas Probabilísticas en el Análisis por Richard F. Bass muestra, hoy en día las técnicas extraídas de la probabilidad son utilizados para resolver problemas en el análisis.

El mencionado libro presenta un estudio de estos métodos "al nivel de un principio, Tel. D. estudiante", pero me gustaría ver algunos ejemplos de "más básica" aplicaciones de la probabilidad de licenciatura (por así decirlo) análisis real (en otras palabras, me gustaría ver algunas aplicaciones del razonamiento probabilístico para el cálculo de problemas).

Answer 1

Aquí es un ejemplo.

La pregunta es cómo demostrar que $$\binom{n}{k}^{-1}=(n+1)\int_0^1 x^k (1-x)^{n-k} \, dx. $$

Para hacer de este autónomo, voy a pegar esta respuesta a continuación:

Vamos a hacerlo un poco como la forma en que el reverendo Thomas Bayes hizo en el siglo 18 (pero voy a frase moderno probabilística de la terminología).

Supongamos $n+1$ independiente de variables aleatorias $X_0,X_1,\ldots,X_n$ están uniformemente distribuidos en el intervalo de $[0,1]$.

Supongamos por $i=1,\ldots,n$ (a partir de la con $1$, no con $0$) tenemos: $$Y_i = \begin{cases} 1 & \text{if }X_i<X_0 \\ 0 & \text{if }X_i>X_0\end{cases}$$

A continuación, $Y_1,\ldots,Y_n$ son condicionalmente independientes dado $X_0$, e $\Pr(Y_i=1\mid X_0)= X_0$.

Por lo $\Pr(Y_1+\cdots+Y_n=k\mid X_0) = \dbinom{n}{k} X_0^k (1-X_0)^{n-k},$ y por lo tanto $$\Pr(Y_1+\cdots+Y_n=k) = \mathbb{E}\left(\dbinom{n}{k} X_0^k (1-X_0)^{n-k}\right).$$

Esto es igual a $$ \int_0^1 \binom nk x^k(1-x)^{n-k}\;dx. $$

Pero el caso es lo mismo que decir que el índice de $i$ que $X_i$ $(k+1)$th posición al $X_0,X_1,\ldots,X_n$ están ordenados en orden creciente es $0$.

Desde todos los $n+1$ índices tienen la misma probabilidad de estar en esa posición, esta probabilidad es $1/(n+1)$.

Por lo tanto $$\int_0^1\binom nk x^k(1-x)^{n-k}\;dx = \frac{1}{n+1}.$$

Answer 2

La aproximación de Weierstrass teorema dice que el valor real de las funciones de la unidad de intervalo puede ser de manera uniforme aproximar arbitrariamente cerca por polinomios. Es decir, para cada función continua $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ y cada una de las $\varepsilon>0$, no es un polinomio $p$ tal que $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ todos los $x\in[0,1]$.

Primaria probabilística de la prueba es como sigue:

Deje $U_1,U_2,\ldots$ ser independientes distribuidos de manera uniforme variables aleatorias en $[0,1]$. Para $n\in\mathbb{N}$, definir una función $p_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ por $$p_n(x) \triangleq \mathbb{E}\Big [\f\Big(\frac{1_{U_1<x}+1_{U_2<x}+\cdots+1_{U_n<x}}{n}\Big) \Big]\;, $$ donde $1_{U_i<x}$ es el indicador de la variable aleatoria del evento $\{U_i<x\}$. Para mayor brevedad, vamos a escribir $\overline{X}_n(x)\triangleq \frac{1}{n}(1_{U_1<x}+1_{U_2<x}+\cdots+1_{U_n<x})$, por lo que el $p_n(x)=\mathbb{E}[f(\overline{X}_n(x))]$. Tenga en cuenta que $p_n(x)$ es un polinomio de grado $n$. Intuitivamente, por la ley de los grandes números, $\overline{X}_n(x)$ va a estar cerca de $x$ al $n$ es grande. Por lo tanto, $f(\overline{X}_n(x))$ también estar cerca de $f(x)$.

Para hacer de este exacto, vamos a $\varepsilon>0$. Una función continua en un espacio compacto es uniformemente continua y acotada. Por lo tanto, hay un $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/2$ por cada $x,y\in[0,1]$ satisfacción $|x-y|<\delta$. Por otra parte, hay una constante $c<\infty$ tal que $|f(x)|<c$ por cada $x\in[0,1]$.

Ahora, para cada una de las $x\in[0,1]$, tenemos \begin{align} |f(x)-p_n(x)| &= \Big|\mathbb{E}\big[f(x)-f(\overline{X}_n(x))\big]\Big| \\ &\leq \mathbb{E}\big|f(x)-f(\overline{X}_n(x))\big| \\ &< \underbrace{\mathbb{P}\big(|\overline{X}_n(x)-x|<\delta\big)}_{\leq 1} \frac{\varepsilon}{2} + \underbrace{\mathbb{P}\big(|\overline{X}_n(x)-x|\geq\delta\big)}_{ \text{via Chebyshev's} }\,c \;. \end{align} Por la desigualdad de Chebyshev, tenemos $$ \mathbb{P}\big(|\overline{X}_n(x)-x|\geq\delta\) \leq \frac{\mathrm{Var}[\overline{X}_n(x)]}{\delta^2} = \frac{x(1-x)}{n\delta^2} \leq \frac{1}{4n\delta^2} \;, $$ que es menor que $\frac{\varepsilon}{2c}$$n\geq\frac{c}{2\varepsilon\delta^2}$. De ello se desprende que $|f(x)-p_n(x)|<\varepsilon$ todos los $x\in[0,1]$, siempre $n\geq \frac{c}{2\varepsilon\delta^2}$, y esto concluye la prueba.

Answer 3

Thomas Bayes mostró que $${n \choose k}\int_0^1 x^k (1-x)^{n-k}\mathrm dx = \frac{1}{n+1}$$ by pure thought, without using calculus (for all integers $k,n$ with $0 \leq k \leq n$). His argument, known as the Bayes' billiards argument, uses two equivalent probabilistic stories about picking random points on a number line from $0$ to $1$.

Eso es sólo un ejemplo, sin embargo, no es una técnica general. Generalizando, una poderosa técnica que normalmente no se hizo hincapié en los cursos de matemáticas es probabilística de la interpretación. Por ejemplo, hay muchos integrales que, después de algunos coincidencia de patrón y, posiblemente, en conjunto con otras técnicas, tales como sustitución, integración por partes, y la diferenciación bajo el signo integral, se puede interpretar la integral de una función de densidad de probabilidad, o como un momento de una distribución conocida, o como una integral de convolución. La Normal, Beta y Gamma, las distribuciones son especialmente importantes en este contexto.

También hay una buena explicación para probabilístico argumento de esta integral en el post de la intuición para la derivación de la función beta por Qiaochu Yuan.

Answer 4

Este problema que tiene una recompensa, contiene una referencia a una solución mediante la teoría de la probabilidad. Creo que la solución de la probabilidad es bastante elegante. Funciona aunque mostrando un resultado aún más fuerte que la pidieron. Por lo tanto, sospecho que debe existir otra prueba, pero esa prueba podría ser más compleja.