Esto no es del todo cierto, pero está muy cerca de serlo. En particular, la verdad de esto depende de la siguiente afirmación:
La secuencia $1,n,n^2,n^3,\ldots$ es eventualmente periódica mod cualquier $m$ .
Más fuertemente, uno puede encontrar que el período de esta secuencia siempre dividirá $\lambda(m)$ donde $\lambda$ es el Función de Carmichael que es el más pequeño $k$ tal que $n^k\equiv 1\pmod m$ para cualquier $n$ coprima a $m$ . Esto es casi tautológico - el único paso de interés es que si $n$ no es coprima de $m$ se puede tomar el mayor divisor $m'$ de $m$ tal que $m'$ y $n$ son coprimas, y ver que el período de la secuencia divide $\lambda(m')$ que divide $\lambda(m)$ .
En particular, esto nos dice que la secuencia $n^n$ mod $m$ será eventualmente periódica con un período de $P=\operatorname{lcm}(m,\lambda(m))$ . Podemos demostrar esto ya que primero podemos obtener que, ya que $m$ divide $P$ tenemos $$n^{n}\equiv (n+P)^n\pmod m$$ y entonces como, para un tamaño suficientemente grande $n$ tenemos que $x^n=x^{n+\lambda(m)}$ para cualquier $x$ , obtenemos que $x^n=x^{n+P}$ desde $\lambda(m)$ divide $P$ Así que..: $$n^n\equiv (n+P)^{n+P}\pmod m$$ como se desea. Parece razonable que $P$ es el período fundamental de la secuencia $n^n$ pero aún no he conseguido demostrarlo. (Sin embargo, es posible ver que el lcm del período fundamental y $m$ es $P$ pero esto no es suficiente).
En particular, la cantidad $\operatorname{lcm}(m,\lambda(m))$ es $20$ cuando $m=10$ y es $6$ cuando $m=3$ . Sin embargo, cuando $m=5$ esta cantidad es $20$ y la secuencia sólo es periódica con periodo $20$ . La primera $40$ los términos son los siguientes: \begin 1, 4, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 4, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 4, 0, \\ &1, 4, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 4, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 4, 4, 0, \ldots\end {align*}
