Ejercicio de Cálculo de Spivak. Capítulo 10, Problema 27

Question

Supongamos que $f$ es diferenciable en 0, y que $f(0) = 0$ . Demostrar que $f(x) = xg(x)$ para alguna función $g$ que es continua en 0.

Este es un problema de Spivak Cálculo a saber, el problema 27 del capítulo 10. (No estoy seguro de cómo hacer esta demostración. La pista que da el texto es considerar que $g(x)$ puede escribirse como $f(x)/x$ pero esto me desconcierta, porque entonces la continuidad de $g$ a 0 dice que $\lim_{x \to 0} g(x) = g(0) = f(0)/0 = 0/0$ .

Answer 1

¿Qué es la $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x-0}$ ?

Answer 2

Demuestra que $f'(0) = g(0)$ de la continuidad de $g$ . Tenga en cuenta que $f'(0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ .