Cómo obtener la función cuantil cuando no se conoce una forma analítica de la distribución

Question

El problema viene de la página 377-379 de este [0] papel.

Dada una distribución continua $F$ y un fijo $z\in\mathbb{R}$ , considerar:

$$L_z(t)=P_F(|z-Z|\leq t)$$

y

$$H(z)=L^{-1}_z(0.5)=\underset{Z\sim F}{\mbox{med}}|z-Z|$$

donde $L^{-1}_z(u)=\inf\{t:L_z(t)>u\}$ es la inversa continua de la derecha. Por lo tanto, para un $z$ es la distancia mediana de todos los $Z\sim F$ a $z$ . A continuación, consideremos la función

$$L(t)=P_F(H(Z)\leq t)$$

Ahora, no tengo una expresión analítica para $H(z)$ (de hecho estoy bastante seguro de que no es posible una expresión analítica para ello) pero dada una FCD $F$ Puedo utilizar fácilmente un algoritmo de búsqueda de raíces para obtener $H(z)$ para cualquier $z$ .

En esta aplicación, el interés está puesto:

$$L^{-1}(0.5)=\underset{Z\sim F}{\mbox{med}}H(Z)$$

Este es el valor medio de la $H(Z)$ , de nuevo, para $Z\sim F$ .

Ahora mismo para conseguir $L^{-1}(0.5)$ Calculo (como se ha explicado anteriormente, utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces) los valores de $H(z)$ correspondiente a muchos valores de $z$ en una cuadrícula y tomar la mediana ponderada de estos valores de $H(z)$ (con pesos $f(z)$ ) como mi estimación de $L^{-1}(0.5)$ .

Mis preguntas son:

• ¿Existe un enfoque más preciso para obtener $L^{-1}(0.5)$ (los autores del documento no dicen cómo $L^{-1}(0.5)$ se calcula) y

• ¿Cómo debe ser la parrilla de valores de $z$ ¿se elige?

  [0] Ola Hössjer, Peter J. Rousseeuw y Christophe Croux. Asymptotics of an estimator of a robust spread functional. Statistica Sinica 6(1996), 375-388.

Answer 1

Por lo tanto, creo que la mejor manera de obtener

$$\text{med}_{Z\sim F} H(Z)$$

es para:

1. calcular las entradas de la $n$ vector $\{H(z_i)\}_{i=1}^n$ de los valores de $H(z_i)$ correspondiente a una cuadrícula de $n$ valores de $\{z_i\}_{i=1}^n$ colocados uniformemente en $(F_Z^{-1}(\epsilon),F_Z^{-1}(1-\epsilon))$
2. Calcular la mediana ponderada de $\{H(z_i)\}_{i=1}^n$ con pesos $F_Z^\prime(z_i)$ .

Answer 2

$\DeclareMathOperator*{\med}{med}$ La mediana es el punto que minimiza la expectativa $L^1$ distancia:

$$\med_Z f(Z) = \arg\min_m E_z|f(Z) - m|$$

De ahí que podamos simplificar su expresión:

$$\begin{equation}\med_{z_1 \sim F} \med_{z_2 \sim F} |z_1 - z_2| \\ = \arg\min_{m_1}E_{z_1 \sim F}\left| m_1 - \arg\min_{m_2} E_{z_2 \sim F}\left| m_2 - \left|z_1 - z_2\right|\right|\right| \end{equation}$$

Creo que esto es un problema de optimización a dos niveles que no conozco demasiado, pero tal vez haya técnicas estándar que se puedan aplicar. Por otra parte, puede que no sea más rápido que calcular la mediana de la muestra para muestras más grandes hasta la convergencia.

Answer 3

Un enfoque directo basado en datos para estimar la función cuantílica consiste en:

• de sus observaciones para generar muchos más valores de los que se en su muestra original (especialmente, valores más allá del rango de la muestra limitada inicial). Una buena estrategia es utilizar un bootstrap suavizado simulación para evitar las principales limitaciones de las botas básicas no paramétricas no paramétrico. Esto equivale a simular a partir de una estimación de la densidad del núcleo.
• a partir de esto, se puede obtener la Función de Distribución Acumulativa empírica (CDF) de los valores simulados ( ecdf en R). La inversa de la FCD no es otra cosa que la función cuantil ( quantile en R). Véase aquí para obtener los valores y trazar su cuantil de la función. Incluso puede obtener bandas de confianza.

Sin embargo, un requisito previo es que el muestreo incluya suficientes observaciones para tener al menos una buena idea de la forma de su PDF subyacente.