"isotrópicos" subspaces de un álgebra de Lie simple

Question

Deje $\bf g$ ser finito-dimensional real simple álgebra de Lie compacto tipo y deje $\left<-,-\right>$ denotar el positivo-definida producto interior inducida a partir de la negativa de la Matanza forma. Deje $\Omega$ denotar la trilineal mapa definido por $$\Omega(X,Y,Z) = \left<[X,Y],Z\right> .$$ Es fácil ver que es alterna, debido a la ad-invariancia de la Matanza forma. Que nos llame a un subespacio $S\subset{\bf g}$ isotrópica si $\Omega$ se desvanece de forma idéntica cuando se limita a $S$; es decir, si $$\Omega(X,Y,Z) = 0, \forall X,Y,Z \in S.$$

En otras palabras, $S$ es isotrópico iff $[S,S] \subset S^\perp$ donde ${}^\perp$ significa que la perpendicular complemento relativo a la Matanza de forma.

Además podemos decir que una isotrópica subespacio es maximal si no está correctamente contenida en una isotrópica subespacio. No es difícil mostrar que $S$ es máxima isotrópica si y sólo si $[S,S] = S^\perp$.

La pregunta es cómo caracterizar la máxima isotrópica subespacios de $\bf g$.

Es fácil ver que el máximo isotrópica subalgebras son precisamente los Cartan subalgebras, pero estoy interesado en subespacios, que no son necesariamente subalgebras.

Los únicos ejemplos que conozco son aquellos para los cuales la $S = {\bf k}^\perp$ ${\bf k} < {\bf g}$ una subalgebra, de donde $${\bf g} = {\bf k} \oplus S$$ es un simétrica de descomposición correspondiente a la de riemann compacta simétrica espacio de $G/K$.

Pregunta: ¿hay alguna otra máxima isotrópica subespacios?

Answer 1

La respuesta es sí, hay otras máxima isotrópica subespacios para al menos algunos de los verdaderos álgebras de Lie compacto tipo. Pensé en una dimensión de conteo argumento de que evita una construcción explícita. Un subespacio de simétrica tipo es rígida; no tiene parámetros libres en virtud de la conjugación en la Mentira de álgebra $\mathbf{g}$. En la dimensión de sentido, no puede no ser suficiente para contener todos los isotrópica subespacios.

Por ejemplo, supongamos que $\mathbf{g} = \mathrm{su}(3)$. Es 8 dimensiones y tiene dos tipos de simétrica subespacios de simétrica tipo, $W_5 = \mathrm{so}(3)^\perp$ que es de 5 dimensiones, y $W_4 = (\mathrm{su}(2) \oplus \mathrm{u}(1))^\perp$, que es de 4 dimensiones. Cada uno de esos isotrópica subespacio $W_n$ se encuentra en una clase conjugacy que es $n$-dimensional.

Por otro lado, supongamos que construimos un espacio isotrópico, como una bandera $V_1 \subset V_2 \subset \cdots \subset V_k$. luego hay 8 parámetros para $V_1$, 7 $V_2$, al menos el 4 $V_3$ (debido a que el núcleo de el mapa a $\bigwedge^2 V_2^*$ está a menos de 5 dimensiones), y al menos el 1 $V_4$ (por el mismo argumento del núcleo). Entonces tenemos que restar la dimensión de la bandera variedad de $V_4$, que es de 6. Que hace que un espacio de moduli de $V_4$s, que sea al menos de 12 dimensiones, y, posiblemente, exactamente eso. Que es más grande que el colector de $W_4$s, y es también más grande que el colector de $W_5$s veces el Grassmannian de 4 planos en cada una de las $W_5$.

No he revisado mucho más grandes que esta. Usted podría tratar de refinar este argumento de manera explícita la identificación de al $V_j$ para un valor pequeño de $j$ a golpes a algunos $W_n$ que hubiera contenido. Suponemos que hay arbitrariamente grandes ejemplos, pero no sé si usted necesita un refinamiento para llegar a ellos.

Answer 2

Los dos dimensional subespacio de su(3) generado por las matrices (en la representación define 3 * 3) con unos en la (+-) diagonales de segunda y la terceros parece que satisfacen esta propiedad. Probablemente, esta construcción generaliza a la su(n) todo.