Número de raíces

Question

¿Tengo razón al pensar que $x^m\equiv 1 (\mod n)$ sólo tiene $m$ ¿raíces distintas? Si no, ¿sería cierto si m,n son coprimos o simplemente primos distintos? Mi intuición me dice que sólo debería haber m raíces, pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Esto no es cierto en general. Por ejemplo, $x^2\equiv 1\bmod 8$ tiene 4 soluciones. En términos más generales, si $n$ es una potencia de 2, entonces $x^2\equiv 1\bmod n$ tiene $n/2$ soluciones.

Si $n$ es primo, entonces $x^m\equiv 1\bmod n$ tiene como máximo $m$ soluciones porque $\mathbb Z/(n)$ es un campo.*

Si $n$ es primo, el número de soluciones de $x^m\equiv 1\bmod n$ depende del gcd de $m$ y $\varphi(n)=n-1$ . Esto es válido en general para $n$ una potencia prima o dos veces una potencia prima con el valor apropiado de $\varphi(n)$ donde $\varphi$ es Totiente de Euler .

En general, no se conoce el número exacto de soluciones. Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity_modulo_n .

[*] Una ecuación polinómica de grado $m$ sobre un campo tiene como máximo $m$ soluciones. Esto se demuestra fácilmente por inducción. Si la ecuación no tiene solución, ya está. Si $a$ es una solución, puede factorizar $x-a$ y te queda una ecuación de grado $m-1$ .